Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x \right)=\left| \dfrac{{{x}^{2}}+2mx+4m}{x+2}...

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp hàm số xác định GTLN, GTNN của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+2mx+4m}{x+2}$ trên $\left[ -1;1 \right].$
- Khi đó $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \right|;\left| \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right| \right\}.$
- Giải phương trình $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=3$ tìm $m.$
Cách giải:Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+2mx+4m}{x+2}$ ta có:
$\begin{aligned}
& g'\left( x \right)=\dfrac{\left( 2x+2m \right)\left( x+2 \right)-{{x}^{2}}-2mx-4m}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{x\left( x+4 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \\
& g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\left( x+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-4 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Bảng biến thiên:

Ta có: $2m+1=\dfrac{6m+3}{3}>\dfrac{6m+1}{3}$ nên ta có: $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=2m+1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=2m.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| 2m+1 \right|;\left| 2m \right| \right\} \\
& \Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m+1 \right|=3 \\
& \left| 2m+1 \right|\ge \left| 2m \right| \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m \right|=3 \\
& \left| 2m \right|\ge \left| 2m+1 \right| \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S=\left\{ 1;-\dfrac{3}{2} \right\} \\
\end{aligned}$
Vậy tích các phần tử của $S$ bằng $1.\left( -\dfrac{3}{2} \right)=-\dfrac{3}{2}.$