Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)={{m}^{2}}\left( \dfrac{{{e}^{5x}}}{5}-16{{e}^{x}} \right)+3m\left( \dfrac{{{e}^{3x}}}{3}-4{{e}^{x}} \right)-14\left( \dfrac{{{e}^{2x}}}{2}-2{{e}^{x}} \right)+2020$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Tổng của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng:
A. $-\dfrac{7}{8}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $-2$.
D. $-\dfrac{3}{8}$.
A. $-\dfrac{7}{8}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $-2$.
D. $-\dfrac{3}{8}$.
Đặt $t={{e}^{x}}; t>0$. Yêu cầu bài toán trở thành: tìm $m$ để hàm số
$f\left( t \right)={{m}^{2}}\left( \dfrac{{{t}^{5}}}{5}-16t \right)+3m\left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-4t \right)-14\left( \dfrac{{{t}^{2}}}{2}-2t \right)+2020$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có $f'\left( t \right)={{m}^{2}}\left( {{t}^{4}}-16 \right)+3m\left( {{t}^{2}}-4 \right)-14\left( t-2 \right)$.
$\begin{aligned}
& Ycbt\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( {{t}^{4}}-16 \right)+3m\left( {{t}^{2}}-4 \right)-14\left( t-2 \right)\ge 0; \forall t>0 \\
& \Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4 \right)\left( t+2 \right)+3m\left( t+2 \right)-14 \right]\ge 0; \forall t>0 \\
\end{aligned}$
Điều kiện cần là phương trình ${{m}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4 \right)\left( t+2 \right)+3m\left( t+2 \right)-14=0$ phải có nghiệm $t=2$, tức là: ${{m}^{2}}\left( {{2}^{2}}+4 \right)\left( 2+2 \right)+3m\left( 2+2 \right)-14=0\Leftrightarrow 32{{m}^{2}}+12m-14=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m=-\dfrac{7}{8} \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại:
Với $m=\dfrac{1}{2}$ thì
$\begin{aligned}
& f'\left( x \right)=\left( t-2 \right)\left[ \dfrac{1}{4}\left( {{t}^{2}}+4 \right)\left( t+2 \right)+\dfrac{3}{2}\left( t+2 \right)-14 \right] \\
& =\dfrac{1}{4}\left( t-2 \right)\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+10t-36 \right) \\
& =\dfrac{1}{4}{{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4t+18 \right)\ge 0; \forall t>0 \\
\end{aligned}$
nên $m=\dfrac{1}{2}$ nhận.
Với $m=-\dfrac{7}{8}$ thì
$\begin{aligned}
& f'\left( x \right)=\left( t-2 \right)\left[ \dfrac{49}{64}\left( {{t}^{2}}+4 \right)\left( t+2 \right)-\dfrac{21}{8}\left( t+2 \right)-14 \right] \\
& =\dfrac{1}{64}\left( t-2 \right)\left( 49{{t}^{3}}+98{{t}^{2}}+28t-840 \right) \\
& =\dfrac{1}{64}{{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( 49{{t}^{2}}+196t+420 \right)\ge 0; \forall t>0 \\
\end{aligned}$
nên $m=-\dfrac{7}{8}$ nhận.
Vậy $S=\left\{ \dfrac{1}{2};-\dfrac{7}{8} \right\}$. Tổng của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng: $\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{8}=-\dfrac{3}{8}$.
$f\left( t \right)={{m}^{2}}\left( \dfrac{{{t}^{5}}}{5}-16t \right)+3m\left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-4t \right)-14\left( \dfrac{{{t}^{2}}}{2}-2t \right)+2020$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có $f'\left( t \right)={{m}^{2}}\left( {{t}^{4}}-16 \right)+3m\left( {{t}^{2}}-4 \right)-14\left( t-2 \right)$.
$\begin{aligned}
& Ycbt\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( {{t}^{4}}-16 \right)+3m\left( {{t}^{2}}-4 \right)-14\left( t-2 \right)\ge 0; \forall t>0 \\
& \Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4 \right)\left( t+2 \right)+3m\left( t+2 \right)-14 \right]\ge 0; \forall t>0 \\
\end{aligned}$
Điều kiện cần là phương trình ${{m}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4 \right)\left( t+2 \right)+3m\left( t+2 \right)-14=0$ phải có nghiệm $t=2$, tức là: ${{m}^{2}}\left( {{2}^{2}}+4 \right)\left( 2+2 \right)+3m\left( 2+2 \right)-14=0\Leftrightarrow 32{{m}^{2}}+12m-14=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m=-\dfrac{7}{8} \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại:
Với $m=\dfrac{1}{2}$ thì
$\begin{aligned}
& f'\left( x \right)=\left( t-2 \right)\left[ \dfrac{1}{4}\left( {{t}^{2}}+4 \right)\left( t+2 \right)+\dfrac{3}{2}\left( t+2 \right)-14 \right] \\
& =\dfrac{1}{4}\left( t-2 \right)\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+10t-36 \right) \\
& =\dfrac{1}{4}{{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4t+18 \right)\ge 0; \forall t>0 \\
\end{aligned}$
nên $m=\dfrac{1}{2}$ nhận.
Với $m=-\dfrac{7}{8}$ thì
$\begin{aligned}
& f'\left( x \right)=\left( t-2 \right)\left[ \dfrac{49}{64}\left( {{t}^{2}}+4 \right)\left( t+2 \right)-\dfrac{21}{8}\left( t+2 \right)-14 \right] \\
& =\dfrac{1}{64}\left( t-2 \right)\left( 49{{t}^{3}}+98{{t}^{2}}+28t-840 \right) \\
& =\dfrac{1}{64}{{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( 49{{t}^{2}}+196t+420 \right)\ge 0; \forall t>0 \\
\end{aligned}$
nên $m=-\dfrac{7}{8}$ nhận.
Vậy $S=\left\{ \dfrac{1}{2};-\dfrac{7}{8} \right\}$. Tổng của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng: $\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{8}=-\dfrac{3}{8}$.
Đáp án D.