Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương...

Hướng Dẫn.
+) Đặt $f(x)={{m}^{2}}\left( {{x}^{4}}-1 \right)+m\left( {{x}^{2}}-1 \right)-6\left( x-1 \right).$
+) Ta có $f(x)=\left( x-1 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)+m\left( x+1 \right)-6 \right]$
+)$f(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
{{m}^{2}}\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)+m\left( x+1 \right)-6=0\left( 1 \right) \\
\end{matrix} \right.$
Nhận xét: Nếu $x=1$ không là nghiệm của phương trình (1) thì là $x=1$ nghiệm đơn của phương trình $f(x)=0$ nên $f(x)$ đối dấu khi qua nghiệm $x=1$. Suy ra mệnh đề $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ là mệnh đề sai.
Do đó điều kiện cần để $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ là $x=1$ nghiệm của phương trình (1).
Khi đó ta có $4{{m}^{2}}+2m-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=-\dfrac{3}{2} \\
\end{matrix}. \right.$
+) Với $m=1$, ta có $f(x)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Đáp án $m=1$
+) Với $m=-\dfrac{3}{2}$, ta có $f(x)=\dfrac{3}{4}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 3{{x}^{2}}+6x+7 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Đáp án $m=-\dfrac{3}{2}$
$\Rightarrow S=\left\{ 1;-\dfrac{3}{2} \right\}.$