Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình
${{m}^{2}}{{x}^{4}}-\left(m+2 \right){{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left({{m}^{2}}-1 \right)x\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Số phần tử của tập $S$ là?
A. $1$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $2$.
${{m}^{2}}{{x}^{4}}-\left(m+2 \right){{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left({{m}^{2}}-1 \right)x\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Số phần tử của tập $S$ là?
A. $1$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $2$.
Ta có: ${{m}^{2}}{{x}^{4}}-\left( m+2 \right){{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)x\ge 0 \left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x\left( {{m}^{2}}{{x}^{3}}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+x+{{m}^{2}}-1 \right)\ge 0$
Nếu $m=0$, bpt $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x\left( -2{{x}^{2}}+x-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\le 0$ (không đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ ).
$\Rightarrow m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu $m\ne 0$, để bpt $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì điều kiện cần là phương trình ${{m}^{2}}{{x}^{3}}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+x+{{m}^{2}}-1=0$ có nghiệm $x=0\Rightarrow {{m}^{2}}-1=0\Rightarrow m=\pm 1$.
+ Với $m=1$ :
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)\ge 0$ ( không đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ ) $\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m=-1$ :
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$.
$\Rightarrow m=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu $m=0$, bpt $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x\left( -2{{x}^{2}}+x-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\le 0$ (không đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ ).
$\Rightarrow m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu $m\ne 0$, để bpt $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì điều kiện cần là phương trình ${{m}^{2}}{{x}^{3}}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+x+{{m}^{2}}-1=0$ có nghiệm $x=0\Rightarrow {{m}^{2}}-1=0\Rightarrow m=\pm 1$.
+ Với $m=1$ :
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)\ge 0$ ( không đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ ) $\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m=-1$ :
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$.
$\Rightarrow m=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.