Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}-\left( m+4 \right)z+{{m}^{2}}+3=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=2.$ Số phần tử của tập hợp $S$ là
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
HD: Ta có: $\Delta ={{\left( m+4 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+3 \right)=-3{{m}^{2}}+8m+4$
■ TH1: Với $\Delta \ge 0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8m+4\ge 0\left( * \right).$ Khi đó phương trình đã cho nhận $z=2$ là nghiệm
Suy ra ${{2}^{2}}-2\left( m+4 \right)+{{m}^{2}}+3=0\Leftrightarrow m=1\pm \sqrt{2}\left( t/m\left( * \right) \right).$
■ TH2: Với $\Delta <0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8m+4<0\left( ** \right).$
Khi đó PT $\Leftrightarrow {{z}_{1,2}}=\dfrac{m+4\pm i\sqrt{3{{m}^{2}}-8m+4}}{2}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$
Theo định lý Viet ta có: ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}+3\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|={{m}^{2}}+3$
Do đó $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+3}=2\Leftrightarrow m=\pm 1\xrightarrow{\left( ** \right)}m=-1.$
Vậy có 3 giá trị của $m.$
■ TH1: Với $\Delta \ge 0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8m+4\ge 0\left( * \right).$ Khi đó phương trình đã cho nhận $z=2$ là nghiệm
Suy ra ${{2}^{2}}-2\left( m+4 \right)+{{m}^{2}}+3=0\Leftrightarrow m=1\pm \sqrt{2}\left( t/m\left( * \right) \right).$
■ TH2: Với $\Delta <0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8m+4<0\left( ** \right).$
Khi đó PT $\Leftrightarrow {{z}_{1,2}}=\dfrac{m+4\pm i\sqrt{3{{m}^{2}}-8m+4}}{2}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$
Theo định lý Viet ta có: ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}+3\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|={{m}^{2}}+3$
Do đó $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+3}=2\Leftrightarrow m=\pm 1\xrightarrow{\left( ** \right)}m=-1.$
Vậy có 3 giá trị của $m.$
Đáp án B.