Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn...

Ta có: ${{\left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} \right)}^{2020}}<{{\left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right)}^{n}}\Leftrightarrow \ln {{\left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} \right)}^{2020}}<\ln {{\left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right)}^{n}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} \right)<n\ln \left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right) \\
& \Leftrightarrow \dfrac{\ln \left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} \right)}{n}<\dfrac{\ln \left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right)}{2020} \\
\end{aligned}$
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{\ln \left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)}{t},t>0$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{\dfrac{t\left( {{2}^{t}}\ln 2+{{3}^{t}}\ln 3 \right)}{{{2}^{t}}+{{3}^{t}}}-\ln \left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)}{{{t}^{2}}}=\dfrac{\left( {{2}^{t}}\ln {{2}^{t}}+{{3}^{t}}\ln {{3}^{t}} \right)-\left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)\ln \left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)}{{{t}^{2}}\left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)}$
Ta thấy
${{2}^{t}}.\ln {{2}^{t}}<{{2}^{t}}\ln \left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)$
${{3}^{t}}.\ln {{3}^{t}}<{{3}^{t}}\ln \left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)$
Suy ra ${f}'\left( t \right)<0$, $\forall t>0$ suy ta hàm số $f(t)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Vậy ta có $f\left( n \right)<f\left( 2020 \right)\Leftrightarrow n>2020$
$n\in \left\{ 2021,..........,9999 \right\}$ hay có có 7979 phần tử thuộc $S$.