Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn...

The Professor · 21/12/21

Câu hỏi: Gọi

S

là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn

{(2^{n} + 3^{n})}^{2020} < {(2^{2020} + 3^{2020})}^{n}

. Số phần tử của

S

là
A.

8999

.
B.

2019

.
C.

1010

.
D.

7979

.

Ta có:

{(2^{n} + 3^{n})}^{2020} < {(2^{2020} + 3^{2020})}^{n} \Leftrightarrow \ln {(2^{n} + 3^{n})}^{2020} < \ln {(2^{2020} + 3^{2020})}^{n}

\begin{aligned} \Leftrightarrow 2020 \ln (2^{n} + 3^{n}) < n \ln (2^{2020} + 3^{2020}) \\ \Leftrightarrow \frac{\ln (2^{n} + 3^{n})}{n} < \frac{\ln (2^{2020} + 3^{2020})}{2020} \end{aligned}

Xét

f (t) = \frac{\ln (2^{t} + 3^{t})}{t}, t > 0

\Rightarrow f^{'} (t) = \frac{\frac{t (2^{t} \ln 2 + 3^{t} \ln 3)}{2^{t} + 3^{t}} - \ln (2^{t} + 3^{t})}{t^{2}} = \frac{(2^{t} \ln 2^{t} + 3^{t} \ln 3^{t}) - (2^{t} + 3^{t}) \ln (2^{t} + 3^{t})}{t^{2} (2^{t} + 3^{t})}

Ta thấy

2^{t} . \ln 2^{t} < 2^{t} \ln (2^{t} + 3^{t})

3^{t} . \ln 3^{t} < 3^{t} \ln (2^{t} + 3^{t})

Suy ra

f^{'} (t) < 0

,

\forall t > 0

suy ta hàm số

f (t)

nghịch biến trên khoảng

(0; + \infty)

.
Vậy ta có

f (n) < f (2020) \Leftrightarrow n > 2020

n \in {2021, . . . . . . . . . ., 9999}

hay có có 7979 phần tử thuộc

S

.

Đáp án D.

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn...