Goi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m\in S$ có...

Điều kiện $z\ne 6$
Giả sử $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{Z} \right)$
Ta có $\left| z-m \right|=4\Leftrightarrow \left| x-m+yi \right|=4\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16\left( C \right)$.
Lại có $\dfrac{z}{z-6}=1+\dfrac{6}{z-6}=1+\dfrac{6}{x-6+yi}=1+\dfrac{6\left( x-6-yi \right)}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{6\left( x-6 \right)}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}-\dfrac{6i}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}i$.
Khi đó $\dfrac{z}{z-6}$ là số thuần ảo khi $1+\dfrac{6\left( x-6 \right)}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+6\left( x-6 \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9$ $\left( C' \right)$.
Như vậy $\left( C \right)$ có tâm $I\left( m;0 \right)$, bán kính $R=4$ và $\left( C' \right)$ có tâm $I'\left( 3;0 \right)$, bán kính $R'=3$.
Do đó $\overrightarrow{II'}=\left( 3-m;0 \right)$ $\Rightarrow II'=\left| m-3 \right|$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( C \right)$ và $\left( C' \right)$ tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& II'=\left| R-R' \right|=1 \\
& II'=R+R'=7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| m-3 \right|=1 \\
& \left| m-3 \right|=7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=2 \\
& m=10 \\
& m=-4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S=12$.