Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m\in S$ có...

Gọi $z=x+iy$ với $x,y\in \mathbb{R}.$
Ta có $\dfrac{z}{z-6}=\dfrac{x+iy}{x-6+iy}=\dfrac{\left( x+iy \right)\left( x-6-iy \right)}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{x\left( x-6 \right)+{{y}^{2}}-6iy}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}.$
Do đó $\dfrac{z}{z-6}$ là số thuần ảo khi $x\left( x-6 \right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9.$
Mặt khác $\left| z-m \right|=9\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=81$
Để có đúng một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9 \\
& {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=81 \\
\end{aligned} \right.$ có đúng một nghiệm.
Nghĩa là hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9$ và $\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=81$ tiếp xúc nhau.
Xét $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 3;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=3$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( m;0 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=9.$
Cần có $\left[ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right| \\
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| m-3 \right|=6 \\
& \left| m-3 \right|=12 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 9;-3;15;-9 \right\}.$
Vậy tổng là $9+(-3)+15+(-9)=12.$