Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m\in S$ có...

Điều kiện: $z\ne 4$
Gọi $z=x+iy$ với $x,y\in \mathbb{R}$, $\left( x,y \right)\ne \left( 4; 0 \right)$, ta có
$\dfrac{z}{z-4}=\dfrac{x+iy}{x-4+iy}=\dfrac{\left( x+iy \right)\left( x-4-iy \right)}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4iy}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
là số thuần ảo khi $x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$
Mà $\left| z-m \right|=6\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36$
Ta được hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 4-2m \right)x=36-{{m}^{2}} \\
& {{y}^{2}}=4-{{\left( x-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m} \\
& {{y}^{2}}=4-{{\left( \dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Ycbt $\Leftrightarrow 4-{{\left( \dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2 \right)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2=2 \\
& \dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}=4 \\
& \dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}=0 \\
\end{aligned} \right. $, ta loại trường hợp $ \dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}=4 $ vì khi đó $ x=4 $ và $ y=0$.
Suy ra $m=\pm 6$
Vậy tổng các giá trị của $m$ là $6-6=0$.