Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $x$ thỏa mãn $4y{{x}^{6}}+{{\log...

Điều kiện: $x>0$ và $y>0$.
Bất phương trình tương đương với: $4y{x}^6+{\log }_2\left(y{x}^6\right)+1\ge 2^{{\log }_2^2\left(2x\right)}+{\log }_2^{2}x+2{\log }_{2}x$
$\iff 4y{x}^6+{\log }_2\left(y{x}^6\right)+2\ge 2^{{\log }_2^2\left(2x\right)}+({\log }_2^{2}x+2{\log }_{2}x+1)$
$\iff 4y{x}^6+{\log }_2\left(4y{x}^6\right)\ge 2^{{\log }_2^2\left(2x\right)}+{({\log }_{2}x+1)}^2$
$\iff 4y{x}^6+{\log }_2\left(4y{x}^6\right)\ge 2^{{\log }_2^2\left(2x\right)}+{\log }_2^2\left(2x\right)$ $\iff f\left(4y{x}^6\right)\ge f\left(2^{{\log }_2^{2}2x}\right)\left(1\right)$.
Xét hàm đặc trưng $f\left(t\right)=t+{\log }_{2}t,t>0$.
Ta có $f^{\prime }\left(t\right)=1+{\displaystyle \frac{1}{t\ln 2}}>0$ với $t>0$ nên hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$.
Khi đó ta được:
$(1)\iff 4y{x}^6\ge 2^{{\log }_2^{2}2x}$ $\iff 2+{\log }_{2}y+6{\log }_{2}x\ge {\log }_2^{2}2x$ $\iff {\log }_{2}y\ge {\log }_2^{2}x-4{\log }_{2}x-1=g(x)$.
Ta có $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{x\ln 2}}{\log }_{2}x-{\displaystyle \frac{4}{x\ln 2}}={\displaystyle \frac{2}{x\ln 2}}({\log }_{2}x-2)$
$g^{\prime }(x)=0\iff {\log }_{2}x=2\iff x=4$.
Để tập $S$ có nhiều nhất $32$ phần tử thì ${\log }_{2}y<g\left(33\right)\iff 0<y<2^{g\left(33\right)}\Rightarrow 0<y\le 19$.
Vậy có $19$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.