Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $x$ thỏa mãn $4y{{x}^{6}}+{{\log...

Điều kiện: $x>0$ và $y>0$.
Bất phương trình tương đương với: $4y{{x}^{6}}+{{\log }_{2}}\left( y{{x}^{6}} \right)+1\ge {{2}^{\log _{2}^{2}\left( 2x \right)}}+\log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x$
$\Leftrightarrow 4y{{x}^{6}}+{{\log }_{2}}\left( y{{x}^{6}} \right)+2\ge {{2}^{\log _{2}^{2}\left( 2x \right)}}+\left( \log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x+1 \right)$
$\Leftrightarrow 4y{{x}^{6}}+{{\log }_{2}}\left( 4y{{x}^{6}} \right)\ge {{2}^{\log _{2}^{2}\left( 2x \right)}}+{{\left( {{\log }_{2}}x+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4y{{x}^{6}}+{{\log }_{2}}\left( 4y{{x}^{6}} \right)\ge {{2}^{\log _{2}^{2}\left( 2x \right)}}+\log _{2}^{2}\left( 2x \right)$ $\Leftrightarrow f\left( 4y{{x}^{6}} \right)\ge f\left( {{2}^{\log _{2}^{2}2x}} \right) \left( 1 \right)$.
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t, t>0$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 2}>0$ với $t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó ta được:
$(1)\Leftrightarrow 4y{{x}^{6}}\ge {{2}^{\log _{2}^{2}2x}}$ $\Leftrightarrow 2+{{\log }_{2}}y+6{{\log }_{2}}x\ge \log _{2}^{2}2x$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}y\ge \log _{2}^{2}x-4{{\log }_{2}}x-1=g(x)$.
Ta có ${g}'(x)=\dfrac{2}{x\ln 2}{{\log }_{2}}x-\dfrac{4}{x\ln 2}=\dfrac{2}{x\ln 2}\left( {{\log }_{2}}x-2 \right)$
${g}'(x)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2\Leftrightarrow x=4$.
Để tập $S$ có nhiều nhất $32$ phần tử thì ${{\log }_{2}}y<g\left( 33 \right)\Leftrightarrow 0<y<{{2}^{g\left( 33 \right)}}\Rightarrow 0<y\le 19$.
Vậy có $19$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.