Gọi S là tập hợp các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Gọi S là tập hợp các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn đồng thời các phương trình

| z - 1 | = | z - i |

và

| z + 2 m | = m + 1

. Tổng các phần tử của S là
A. 1
B. 4
C. 2
D. 3

Đặt

z = a + b i (a, b \in R)

ta có :

| a + b i - 1 | = | a + b i - i | \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} + b^{2} = a^{2} + {(b - 1)}^{2} \Leftrightarrow a = b \Rightarrow z = a + a i

Lại có:

| z + 2 m | = m + 1 \Leftrightarrow | a + a i + 2 m | = m + 1 \Leftrightarrow {\begin{aligned} m \geq - 1 \\ {(a + 2 m)}^{2} + a^{2} = {(m + 1)}^{2} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} m \geq - 1 \\ 2 a^{2} + 4 m a + 3 m^{2} - 2 m - 1 = 0 \end{aligned}

Để tồn tại 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán thì

Δ {^{'}}_{m} = 4 m^{2} - 2 (3 m^{2} - 2 m - 1) > 0

\Leftrightarrow - 2 m^{2} + 4 m + 2 > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < m < 1 + \sqrt{2}

Kết hợp

{\begin{aligned} m \geq - 1 \\ m \in Z \end{aligned} \Rightarrow m = {0; 1; 2} \Rightarrow S = {0; 1; 2} \Rightarrow T = 3

.

Đáp án D.