Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn đồng thời các phương trình $\left| z-1 \right|=\left| z-i \right|$ và $\left| z+2m \right|=m+1$. Tổng các phần tử của S là
A. 1
B. 4
C. 2
D. 3
A. 1
B. 4
C. 2
D. 3
Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ ta có : $\left| a+bi-1 \right|=\left| a+bi-i \right|\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow a=b\Rightarrow z=a+ai$
Lại có: $\left| z+2m \right|=m+1\Leftrightarrow \left| a+ai+2m \right|=m+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -1 \\
& {{\left( a+2m \right)}^{2}}+{{a}^{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -1 \\
& 2{{a}^{2}}+4ma+3{{m}^{2}}-2m-1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để tồn tại 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $\Delta {{'}_{m}}=4{{m}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-2m-1 \right)>0$
$\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+4m+2>0\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}<m<1+\sqrt{2}$
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\ge -1 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow S=\left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow T=3$.
Lại có: $\left| z+2m \right|=m+1\Leftrightarrow \left| a+ai+2m \right|=m+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -1 \\
& {{\left( a+2m \right)}^{2}}+{{a}^{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -1 \\
& 2{{a}^{2}}+4ma+3{{m}^{2}}-2m-1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để tồn tại 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $\Delta {{'}_{m}}=4{{m}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-2m-1 \right)>0$
$\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+4m+2>0\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}<m<1+\sqrt{2}$
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\ge -1 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow S=\left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow T=3$.
Đáp án D.