Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình...

Đặt $t={{2}^{x}}>0,$ khi đó phương trình trở thành ${{t}^{2}}-mt+2m+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+1=m\left( t-2 \right)$
Nhận thấy $t=2$ không là nghiệm của phương trình $\Rightarrow t\ne 2.$
Chia cả 2 vế của phương trình cho $t-2,$ ta được $m=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t-2}=f\left( t \right)\left( t>0 \right)$ (*)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$ và đường thẳng $y=m$ song song với trục hoành.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2t\left( t-2 \right)-{{t}^{2}}-1}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}-4t-1}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2+\sqrt{5}\in \left( 0;+\infty \right) \\
& t=2-\sqrt{5}\notin \left( 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có nghiệm
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-\dfrac{1}{2} \\
& m\ge 4+2\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S=\left( -\infty ;\dfrac{-1}{2} \right)\cup \left( 4+2\sqrt{5};+\infty \right)\Rightarrow \mathbb{R}\backslash S=\left[ -\dfrac{1}{2};4+2\sqrt{5} \right).$
Vậy tập $\mathbb{R}\backslash S$ có 9 giá trị nguyên là $\left\{ 0;1;2;...;8 \right\}.$