Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của $m$ để tồn tại duy nhất...

Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{2}^{2}}\begin{matrix}
{} & \left( 1 \right) \\
\end{matrix}$ và
$\begin{aligned}
& {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y+{{m}^{2}}-6m+3 \right)\ge 1\Leftrightarrow 4x+4y+{{m}^{2}}-6m+3\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \\
& \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{\left( m-3 \right)}^{2}}\begin{matrix}
{} & \left( 2 \right) \\
\end{matrix}. \\
\end{aligned}$
Xét $m=3$, ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right. $. Cặp số $ \left( x; y \right)=\left( 2; 2 \right) $ không thỏa mãn điều kiện $ \left( 1 \right)$.
Xét $m\ne 3$, khi đó tập hợp các cặp số $\left( x; y \right)$ thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right)$ là tọa độ các điểm thuộc đường tròn tâm $I\left( -1;2 \right)$ bán kính $R=2$.
Tập hợp các cặp số $\left( x; y \right)$ thỏa mãn điều kiện $\left( 2 \right)$ là tọa độ các điểm thuộc hình tròn tâm ${{I}_{1}}\left( 2;2 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=\left| m-3 \right|,\left( m\ne 3 \right)$.
Do đó để tồn tại duy nhất cặp số $\left( x; y \right)$ thỏa mãn hai điều kiện trên thì:
TH1. Hai đường tròn $\left( I;R \right)$ và $\left( {{I}_{1}};{{R}_{1}} \right)$ tiếp xúc ngoài. Khi đó
$I{{I}_{1}}=R+{{R}_{1}}\Leftrightarrow 3=\left| m-3 \right|+2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$.
TH2. Hai đường tròn $\left( I;R \right)$ và $\left( {{I}_{1}};{{R}_{1}} \right)$ tiếp xúc trong và $R>{{R}_{1}}$. Khi đó
$\left\{ \begin{aligned}
& I{{I}_{1}}=R-{{R}_{1}} \\
& R>{{R}_{1}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3=2-\left| m-3 \right| \\
& 2>\left| m-3 \right| \\
\end{aligned} \right. $, không tồn tại $ m$.
Vậy tổng giá trị các phần tử của tập $S$ bằng 6.