Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập họp các giá trị nguyên của $y$ sao cho ứng với mỗi $y$, tồn tại duy nhất một giá trị $x\in \left[ \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2} \right]$ thỏa mãn $\text{lo}{{\text{g}}_{3}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( -{{x}^{2}}+6x-5 \right)$. Số phần tử của $S$ là
A. 7.
B. 1.
C. 8.
D. 3.
A. 7.
B. 1.
C. 8.
D. 3.
Xét hàm số
$f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)-{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+6x-5 \right)$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-12x+9}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)\ln 3}+\dfrac{2x-6}{\left( -{{x}^{2}}+6x-5 \right)\ln 2}$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=\left( x-3 \right)\left[ \dfrac{3x-3}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)\ln 3}+\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+6x-5 \right)\ln 2} \right]$
Xét trên tập $x\in \left[ \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2} \right]$ thì ta dễ thấy
$f'\left( x \right)>0$ với $x>3$
$f'\left( x \right)<0$ với $x<3$
Nếu $x=3$ thỏa mãn điều kiện.
Ta có $f\left( 3 \right)={{\log }_{3}}y-2;f\left( \dfrac{3}{2} \right)={{\log }_{3}}\left( \dfrac{27}{8}+y \right)-{{\log }_{2}}\dfrac{7}{4}$ ; $f\left( \dfrac{9}{2} \right)={{\log }_{3}}\left( \dfrac{81}{8}+y \right)-{{\log }_{2}}\dfrac{7}{4}$
TH1. $f\left( 3 \right)>0\Leftrightarrow y>9\Rightarrow $ Phương trình $f\left( x \right)=0$ vô nghiệm.
TH2. $f\left( 3 \right)=0\Leftrightarrow y=9\Rightarrow $ Phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$
TH3. $f\left( 3 \right)<0$ hoặc $x=3$ không thuộc tập xác định của phương trình, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( \dfrac{3}{2} \right)<0 \\
& f\left( \dfrac{9}{2} \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( \dfrac{27}{8}+y \right)<{{\log }_{2}}\dfrac{7}{4} \\
& {{\log }_{3}}\left( \dfrac{81}{8}+y \right)\ge {{\log }_{2}}\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -7,7<y<-0,9$
Do $y$ nguyên $\Rightarrow y\in \left\{ -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}.$
Vậy số phần tử của $S$ là $8.$
$f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)-{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+6x-5 \right)$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-12x+9}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)\ln 3}+\dfrac{2x-6}{\left( -{{x}^{2}}+6x-5 \right)\ln 2}$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=\left( x-3 \right)\left[ \dfrac{3x-3}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)\ln 3}+\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+6x-5 \right)\ln 2} \right]$
Xét trên tập $x\in \left[ \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2} \right]$ thì ta dễ thấy
$f'\left( x \right)>0$ với $x>3$
$f'\left( x \right)<0$ với $x<3$
Nếu $x=3$ thỏa mãn điều kiện.
Ta có $f\left( 3 \right)={{\log }_{3}}y-2;f\left( \dfrac{3}{2} \right)={{\log }_{3}}\left( \dfrac{27}{8}+y \right)-{{\log }_{2}}\dfrac{7}{4}$ ; $f\left( \dfrac{9}{2} \right)={{\log }_{3}}\left( \dfrac{81}{8}+y \right)-{{\log }_{2}}\dfrac{7}{4}$
TH1. $f\left( 3 \right)>0\Leftrightarrow y>9\Rightarrow $ Phương trình $f\left( x \right)=0$ vô nghiệm.
TH2. $f\left( 3 \right)=0\Leftrightarrow y=9\Rightarrow $ Phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$
TH3. $f\left( 3 \right)<0$ hoặc $x=3$ không thuộc tập xác định của phương trình, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( \dfrac{3}{2} \right)<0 \\
& f\left( \dfrac{9}{2} \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( \dfrac{27}{8}+y \right)<{{\log }_{2}}\dfrac{7}{4} \\
& {{\log }_{3}}\left( \dfrac{81}{8}+y \right)\ge {{\log }_{2}}\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -7,7<y<-0,9$
Do $y$ nguyên $\Rightarrow y\in \left\{ -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}.$
Vậy số phần tử của $S$ là $8.$
Đáp án C.