Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình ${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0$ có hai nghiệm phân biệt. Tập $S$ có bao nhiêu phần tử?
A. $2$.
B. $1$.
C. $7$.
D. $3$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $7$.
D. $3$.
Đặt ${{5}^{x}}=t\left( t>0 \right)$ thì phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-5mt+7{{m}^{2}}-7=0\left( * \right)$
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm: ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$
Khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 25{{m}^{2}}-4\left( 7{{m}^{2}}-7 \right)>0 \\
& 5m>0 \\
& 7{{m}^{2}}-7>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3{{m}^{2}}+28>0 \\
& m>0 \\
& m>1\vee m<-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{2\sqrt{21}}{3}<m<\dfrac{2\sqrt{21}}{3} \\
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<m<\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$
Vậy tập hợp $S$ có hai phần tử là: $2$ và $3.$.
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm: ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$
Khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 25{{m}^{2}}-4\left( 7{{m}^{2}}-7 \right)>0 \\
& 5m>0 \\
& 7{{m}^{2}}-7>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3{{m}^{2}}+28>0 \\
& m>0 \\
& m>1\vee m<-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{2\sqrt{21}}{3}<m<\dfrac{2\sqrt{21}}{3} \\
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<m<\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$
Vậy tập hợp $S$ có hai phần tử là: $2$ và $3.$.
Đáp án A.
