Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2{{\log }_{2}}{{x}^{4}}+\sqrt{2{{\log }_{2}}{{x}^{8}}}-2m+2018=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\!\![\!\!1;2]$. Số phần tử của S là:
A. 7
B. 9
C. 8
D. 6
A. 7
B. 9
C. 8
D. 6
Phương trình trở thành: $8{{\log }_{2}}x+4\sqrt{{{\log }_{2}}x}-2m+2018=0$
Đặt $t=\sqrt{{{\log }_{2}}x}$ mà $x\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow {{\log }_{2}}x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]$
Do đó phương trình trên tương đương: $m=4{{t}^{2}}+2t+1009$
Xét hàm số $f\left( t \right)=4{{t}^{2}}+2t+1009$ trên $\left[ 0;1 \right]$, có ${{f}^{'}}\left( t \right)=8t+2>0$ ;
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;1 \right)\Rightarrow \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=1009;\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{max}}} f\left( t \right)=1015$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m=f\left( t \right)$ có nghiệm thuộc $\left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow 1009<m<1015$
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên $m$ cần tìm. .
Đặt $t=\sqrt{{{\log }_{2}}x}$ mà $x\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow {{\log }_{2}}x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]$
Do đó phương trình trên tương đương: $m=4{{t}^{2}}+2t+1009$
Xét hàm số $f\left( t \right)=4{{t}^{2}}+2t+1009$ trên $\left[ 0;1 \right]$, có ${{f}^{'}}\left( t \right)=8t+2>0$ ;
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;1 \right)\Rightarrow \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=1009;\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{max}}} f\left( t \right)=1015$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m=f\left( t \right)$ có nghiệm thuộc $\left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow 1009<m<1015$
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên $m$ cần tìm. .
Đáp án D.