Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các điểm $M\left( x;y \right)$ trong đó $x,y$ là các số nguyên thỏa mãn điều kiện ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\left( 2x+2y+m \right)\ge 1$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020;2019 \right]$ để tập $S$ có không quá $5$ phần tử ?
A. $2019$.
B. $2020$.
C. $1$.
D. $2021$.
A. $2019$.
B. $2020$.
C. $1$.
D. $2021$.
Ta có : ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\left( 2x+2y+m \right)\ge 1$ $$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x+2y+m>0 \\
2x+2y+m\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \\
\end{matrix} \right.$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le m+1$ $\left( 1 \right)$.
Trường hợp 1: $m+1<0$ $\Leftrightarrow m<-1$.Lúc đó ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}<0$ $\Rightarrow S=\varnothing $ thỏa đề .
Trường hợp 2: $m+1\ge 0\Rightarrow m\ge -1$. Để tập $S$ có không quá $5$ phần tử thì bất phương trình $\left( 1 \right)$ có không quá $5$ cặp $\left( x,y \right)$ với $x,y\in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow \sqrt{m+1}<\sqrt{2}\Leftrightarrow -1\le m<1$.
Kết hợp hai trường hợp ta có $m<1$ $\xrightarrow[{m \in [ - 2020;2019]}]{{m \in Z}}$ có $2021$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.
2x+2y+m>0 \\
2x+2y+m\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \\
\end{matrix} \right.$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le m+1$ $\left( 1 \right)$.
Trường hợp 1: $m+1<0$ $\Leftrightarrow m<-1$.Lúc đó ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}<0$ $\Rightarrow S=\varnothing $ thỏa đề .
Trường hợp 2: $m+1\ge 0\Rightarrow m\ge -1$. Để tập $S$ có không quá $5$ phần tử thì bất phương trình $\left( 1 \right)$ có không quá $5$ cặp $\left( x,y \right)$ với $x,y\in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow \sqrt{m+1}<\sqrt{2}\Leftrightarrow -1\le m<1$.
Kết hợp hai trường hợp ta có $m<1$ $\xrightarrow[{m \in [ - 2020;2019]}]{{m \in Z}}$ có $2021$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.
Đáp án D.