Gọi $S$ là tập chứa tất cá các giá trị thực của tham số $m$ để hàm...

Xét phương trình ${{x}^{2}}-2mx+1=0$ có ${\Delta }'={{m}^{2}}-1$.
Trường hợp 1. Nếu ${\Delta }'={{m}^{2}}-1\le 0$ thì ta có $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+1+4x={{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+1$ Dễ thấy hàm số này không tồn tại điểm cực đại.
Trường hợp 2. Nếu ${\Delta }'={{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m<-1 \\
m>1 \\
\end{matrix} \right. $; khi đó hai nghiệm phân biệt của phương trình $ {{x}^{2}}-2mx+1=0 $ lần lượt là $ {{x}_{1}}=m-\sqrt{{{m}^{2}}-1};{{x}_{2}}=m+\sqrt{{{m}^{2}}-1}$.
Với $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x\le {{x}_{1}} \\
x\ge {{x}_{2}} \\
\end{array} \right. $ thì $ y=f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+1+4x={{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+1$ không có điểm cực đại.
Với ${{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}$ thì $y=f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2mx-1+4x=-{{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x-1$.
Hàm số này có điểm cực đại là: $x=m+2$ và giá tri cực đại là: $y=f\left( m+2 \right)={{m}^{2}}+4m+3$.
Suy ra điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}<x=m+2<{{x}_{2}} \\
& f\left( m+2 \right)={{m}^{2}}+4m+3\in \left( 3;4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-\sqrt{{{m}^{2}}-1}<m+2<m+\sqrt{{{m}^{2}}-1} \\
& 3<{{m}^{2}}+4m+3<4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{m}^{2}}-1}>2 \\
& {{m}^{2}}+4m+3<4 \\
& {{m}^{2}}+4m+3>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<-\sqrt{5} \\
& m>\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
& -2-\sqrt{5}<m<-2+\sqrt{5} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m<-4 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2-\sqrt{5}<m<-4$.
Suy ra $10\left( -2-\sqrt{5} \right)<10m<-40$
$\Rightarrow -42,3<10m<-40\Rightarrow 10m\in \left\{ -42;-41 \right\}\Leftrightarrow m\in \left\{ -4,2;-4,1 \right\}$.
Vậy $S$ có 2 phần tử.