Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m \in[-20 ; 20]$ để đồ thị hàm số $y=$ $(m-2) x^4+2 m x^2+5-m$ có duy nhất một điểm cực tiểu. Số phần tử của tập $S$ bằng
A. 41 .
B. 21 .
C. 17 .
D. 20 .
A. 41 .
B. 21 .
C. 17 .
D. 20 .
TH1: $m-2=0 \Leftrightarrow m=2$.
Hàm số trở thành $y=4 x^2+3$, đây là Parabol có đúng một cực tiểu.
Vậy $m=2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: $m-2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2$.
Ta có $y^{\prime}=4(m-2) x^3+4 m x=4 x\left[(m-2) x^2+m\right]$
$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x^2=\dfrac{-m}{m-2}\end{array}\right.$
Đồ thị hàm số $y=(m-2) x^4+2 m x^2+5-m$ có duy nhất một điểm cực tiểu nếu:
- $a>0$ và $y^{\prime}=0$ có duy nhất 1 nghiệm $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2>0 \\ x^2=\dfrac{-m}{m-2}<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2>0 \\ -m<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m>2 \\ m>0\end{array} \Leftrightarrow m>2\right.\right.\right.$
- $a<0$ và $y^{\prime}=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2<0 \\ x^2=\dfrac{-m}{m-2}>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2<0 \\ -m<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<2 \\ m>0\end{array} \Leftrightarrow 0<\right.\right.\right.$ $m<2$.
Kết luận: Tất cả các giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m>0$.
Vì $\left\{\begin{array}{l}m>0 \\ m \in \mathbb{Z} \\ m \in[-20 ; 20]\end{array}\right.$ nên có tất cả 20 giá trị $m$.
Hàm số trở thành $y=4 x^2+3$, đây là Parabol có đúng một cực tiểu.
Vậy $m=2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: $m-2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2$.
Ta có $y^{\prime}=4(m-2) x^3+4 m x=4 x\left[(m-2) x^2+m\right]$
$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x^2=\dfrac{-m}{m-2}\end{array}\right.$
Đồ thị hàm số $y=(m-2) x^4+2 m x^2+5-m$ có duy nhất một điểm cực tiểu nếu:
- $a>0$ và $y^{\prime}=0$ có duy nhất 1 nghiệm $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2>0 \\ x^2=\dfrac{-m}{m-2}<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2>0 \\ -m<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m>2 \\ m>0\end{array} \Leftrightarrow m>2\right.\right.\right.$
- $a<0$ và $y^{\prime}=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2<0 \\ x^2=\dfrac{-m}{m-2}>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m-2<0 \\ -m<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<2 \\ m>0\end{array} \Leftrightarrow 0<\right.\right.\right.$ $m<2$.
Kết luận: Tất cả các giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m>0$.
Vì $\left\{\begin{array}{l}m>0 \\ m \in \mathbb{Z} \\ m \in[-20 ; 20]\end{array}\right.$ nên có tất cả 20 giá trị $m$.
Đáp án D.
