Gọi $S$ là tập các số nguyên dương $a$ để bất phương trình...

Bất phương trình đã cho tương đương
${{6}^{x}}-{{2}^{x+a}}+{{2}^{a+2}}-4\cdot {{3}^{x}}<0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-4 \right)\left( {{3}^{x}}-{{2}^{a}} \right)<0.$
Ta có các trường hợp (TH) sau
TH1. $a{{\log }_{3}}2\le 2$. Do $a$ nguyên nên $a\le 3$. Khi đó bất phương trình tương đương $a{{\log }_{3}}2<x<2.$
Do $a{{\log }_{3}}2>0$ nên hiển nhiên bất phương trình có không quá $10$ nghiệm nguyên. Bất phương trình có ít nhất $1$ nghiệm nguyên khi và chỉ khi $a{{\log }_{3}}2<1\Leftrightarrow a<{{\log }_{2}}3\approx 1,6.$
Vậy $a=1$.
TH2. $a{{\log }_{3}}2>2$. Do $a$ nguyên nên $a\ge 4$. Khi đó bất phương trình tương đương $2<x<a{{\log }_{3}}2.$
Dẫn đến bất phương trình có ít nhất $1$ và không quá $10$ nghiệm nguyên, khi và chỉ khi $3<a{{\log }_{3}}2\le 13\Leftrightarrow 4,6\approx 3{{\log }_{2}}3<a\le 13{{\log }_{2}}3\approx 20,6.$
Suy ra $5\le a\le 20$.
Vậy $S=\left\{ 1;5;6;\ldots ;20 \right\}$ và tổng các phần tử của $S$ là $1+5+6+\cdots +20=201$.