Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số thực m để hàm số $y={{x}^{2}}+\ln \left( x+m+2 \right)$ đồng biến trên tập xác định của nó. Biết $S=\left( -\infty ;a+\sqrt{b} \right]$. Tính tổng $K=a+b$ là
A. $K=5$.
B. $K=2$.
C. $K=-5$.
D. $K=0$.
A. $K=5$.
B. $K=2$.
C. $K=-5$.
D. $K=0$.
TXĐ: $D=\left( -m-2;+\infty \right)$
${y}'=2x+\dfrac{1}{x+m+2}=\dfrac{2{{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x+1}{x+m+2}$.
TH1: ${\Delta }'\le 0\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}-2\le 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+2\le 0\Leftrightarrow -2-\sqrt{2}\le m\le -2+\sqrt{2}$
${y}'\ge 0,\forall x\in D\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}-2>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2-\sqrt{2} \\
& m>-2+\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó pt ${y}'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$.
Theo định lý viet: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\left( m+2 \right) \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
${y}'>0,\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right)\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;{{x}_{1}} \right);\left( {{x}_{2}};+\infty \right)$.
Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<-m-2$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\left( m+2 \right)<0 \\
& \left( {{x}_{1}}+m+2 \right)\left( {{x}_{2}}+m+2 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& \dfrac{1}{2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<-2$.
$\Rightarrow m\le -2-\sqrt{2}$ thì hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
$\Rightarrow a+\sqrt{b}=-2-\sqrt{2}$
$\Rightarrow a=-2,b=2$.
Vậy $a+b=0$.
${y}'=2x+\dfrac{1}{x+m+2}=\dfrac{2{{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x+1}{x+m+2}$.
TH1: ${\Delta }'\le 0\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}-2\le 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+2\le 0\Leftrightarrow -2-\sqrt{2}\le m\le -2+\sqrt{2}$
${y}'\ge 0,\forall x\in D\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}-2>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2-\sqrt{2} \\
& m>-2+\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó pt ${y}'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$.
Theo định lý viet: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\left( m+2 \right) \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
${y}'>0,\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right)\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;{{x}_{1}} \right);\left( {{x}_{2}};+\infty \right)$.
Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<-m-2$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\left( m+2 \right)<0 \\
& \left( {{x}_{1}}+m+2 \right)\left( {{x}_{2}}+m+2 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& \dfrac{1}{2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<-2$.
$\Rightarrow m\le -2-\sqrt{2}$ thì hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
$\Rightarrow a+\sqrt{b}=-2-\sqrt{2}$
$\Rightarrow a=-2,b=2$.
Vậy $a+b=0$.
Đáp án D.