Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng $d:y=x+1$...

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x+1=\dfrac{4\text{x}-{{m}^{2}}}{x-1}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=4\text{x}-{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4\text{x}+{{m}^{2}}-1=0\left( x\ne 1 \right)$ (*)
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm $\Leftrightarrow $ phương trình (*) có nghiệm duy nhất $x\ne 1$.
$\Leftrightarrow $ (*) có nghiệm kép $x\ne 1$ hoặc (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1.
TH1: (*) có nghiệm kép $x\ne 1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'=4-\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0 \\
& {{1}^{2}}-4.1+{{m}^{2}}-1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5-{{m}^{2}}=0 \\
& {{m}^{2}}-4\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\pm \sqrt{5} \\
& m\ne \pm 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{5}$.
TH2: (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1.
Khi đó $x=1$ là nghiệm của (*) thì ${{1}^{2}}-4.1+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 2$.
Thử lại với $m=\pm 2$ thì (*) là ${{x}^{2}}-4\text{x}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\left( L \right) \\
& x=3\left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.$ hay phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm duy nhất.
Vậy $S=\left\{ \pm \sqrt{5};\pm 2 \right\}$ suy ra tích các phần tử bằng 20.