Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường...

Ta có $2my={{x}^{2}}\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2m}{{x}^{2}}>0$ (do $m>0$ ).
và $mx=\dfrac{1}{2}{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}=2mx\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\sqrt{2mx}\ge 0 \\
& y=-\sqrt{2mx}<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $2my={{x}^{2}}$ và $mx=\dfrac{1}{2}{{y}^{2}}$ ta có
$\dfrac{1}{2m}{{x}^{2}}=\sqrt{2mx}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2m\sqrt{2mx}\Leftrightarrow {{x}^{4}}-8{{m}^{3}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2m \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $S=\int\limits_{0}^{2m}{\left| \dfrac{1}{2m}{{x}^{2}}-\sqrt{2mx} \right|\text{d}x}=\left| \int\limits_{0}^{2m}{\left( \dfrac{1}{2m}{{x}^{2}}-\sqrt{2mx} \right)\text{d}x} \right|$
$=\left. \left| \dfrac{1}{2m}.\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{2\sqrt{2m}}{3}x\sqrt{x} \right| \right|_{0}^{2m}=\dfrac{4{{m}^{2}}}{3}$.
Để $S=3\Leftrightarrow \dfrac{4{{m}^{2}}}{3}=3\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}$ (do $m>0$ ).