Google
Câu hỏi: Gọi n là số nguyên dương sao $\dfrac{1}{{{\log }_{3}}x}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{3}^{2}}}}x}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{3}^{3}}}}x}+...+\dfrac{1}{{{\log }_{{{3}^{n}}}}x}=\dfrac{190}{{{\log }_{3}}x}$ cho đúng với mọi x dương, $x\ne 1$. Tìm giá trị của biểu thức $P=2n+3$.
A. $P=23.$
B. $P=41.$
C. $P=43.$
D. $P=32.$
A. $P=23.$
B. $P=41.$
C. $P=43.$
D. $P=32.$
Với $\forall x>0,x\ne 1$ ta có: $\dfrac{1}{{{\log }_{3}}x}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{3}^{2}}}}x}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{3}^{3}}}}x}+...+\dfrac{1}{{{\log }_{{{3}^{n}}}}x}=\dfrac{190}{{{\log }_{3}}x}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\log }_{x}}3+{{\log }_{x}}{{3}^{2}}+...+{{\log }_{x}}{{3}^{n}}=190.{{\log }_{x}}3\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( {{3.3}^{2}}{{.3}^{3}}{{...3}^{n}} \right)=190.{{\log }_{x}}3 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{x}}{{3}^{1+2+3+...+n}}=190.{{\log }_{x}}3\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}=190\Leftrightarrow n\left( n+1 \right)=380\Leftrightarrow n=19 \\
& \Rightarrow P=2n+3=2.19+3=41. \\
\end{aligned}$
Lưu ý: Sử dụng các công thức ${{\log }_{{{a}^{m}}}}{{b}^{n}}=\dfrac{n}{m}{{\log }_{a}}b$ và $\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}={{\log }_{b}}a$ (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\log }_{x}}3+{{\log }_{x}}{{3}^{2}}+...+{{\log }_{x}}{{3}^{n}}=190.{{\log }_{x}}3\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( {{3.3}^{2}}{{.3}^{3}}{{...3}^{n}} \right)=190.{{\log }_{x}}3 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{x}}{{3}^{1+2+3+...+n}}=190.{{\log }_{x}}3\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}=190\Leftrightarrow n\left( n+1 \right)=380\Leftrightarrow n=19 \\
& \Rightarrow P=2n+3=2.19+3=41. \\
\end{aligned}$
Lưu ý: Sử dụng các công thức ${{\log }_{{{a}^{m}}}}{{b}^{n}}=\dfrac{n}{m}{{\log }_{a}}b$ và $\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}={{\log }_{b}}a$ (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Đáp án B.