Gọi n là số nguyên dương sao $\dfrac{1}{{{\log...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Gọi n là số nguyên dương sao

\frac{1}{\log_{3} x} + \frac{1}{\log_{3^{2}} x} + \frac{1}{\log_{3^{3}} x} + . . . + \frac{1}{\log_{3^{n}} x} = \frac{190}{\log_{3} x}

cho đúng với mọi x dương,

x \neq 1

. Tìm giá trị của biểu thức

P = 2 n + 3

.
A.

P = 23.

B.

P = 41.

C.

P = 43.

D.

P = 32.

Với

\forall x > 0, x \neq 1

ta có:

\frac{1}{\log_{3} x} + \frac{1}{\log_{3^{2}} x} + \frac{1}{\log_{3^{3}} x} + . . . + \frac{1}{\log_{3^{n}} x} = \frac{190}{\log_{3} x}

\begin{aligned} \Leftrightarrow \log_{x} 3 + \log_{x} 3^{2} + . . . + \log_{x} 3^{n} = 190. \log_{x} 3 \Leftrightarrow \log_{x} ({3.3}^{2} {.3}^{3} {. . .3}^{n}) = 190. \log_{x} 3 \\ \Leftrightarrow \log_{x} 3^{1 + 2 + 3 + . . . + n} = 190. \log_{x} 3 \Leftrightarrow \frac{n (n + 1)}{2} = 190 \Leftrightarrow n (n + 1) = 380 \Leftrightarrow n = 19 \\ \Rightarrow P = 2 n + 3 = 2.19 + 3 = 41. \end{aligned}

Lưu ý: Sử dụng các công thức

\log_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} \log_{a} b

và

\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a

(giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Đáp án B.