Gọi $M$ và $m$ tương ứng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của...

The Knowledge · 23/2/22

Câu hỏi: Gọi

M

và

m

tương ứng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 2^{| \sin x |} + 2^{| \cos x |}

. Tính tổng

T = 1010 M + 2021 m

.
A.

T = 1010 \cdot 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 6063

.
B.

T = 2020 \cdot 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 2021

.
C.

T = 1010 \cdot 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 2021

.
D.

T = 2020 \cdot 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 6063

.

Đặt

t = | \sin x |, t \in [0; 1]

suy ra

\sqrt{1 - t^{2}} = | \cos x |

.
Khi đó

y = f (t) = 2^{t} + 2^{\sqrt{1 - t^{2}}}

, với

t \in [0; 1]

.
Ta có

f^{'} (t) = 2^{t} \cdot \ln 2 - 2^{\sqrt{1 - t^{2}}} \cdot \ln 2 \cdot \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} = 0

\Leftrightarrow 2^{t} \cdot \ln 2 = 2^{\sqrt{1 - t^{2}}} \cdot \ln 2 \cdot \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} \Leftrightarrow \frac{2^{t}}{t} = \frac{2^{\sqrt{1 - t^{2}}}}{\sqrt{1 - t^{2}}} (*)

.
Đặt

g (u) = \frac{2^{u}}{u}

với

u \in (0; 1)

;

g^{'} (u) = \frac{2^{u} \cdot \ln 2 - 2^{u}}{u^{2}} > 0, \forall u \in (0; 1)

.
Do đó

g

đồng biến trên

(0; 1)

.
Nên

(*) \Leftrightarrow t = \sqrt{1 - t^{2}} \Leftrightarrow t^{2} = 1 - t^{2} \Leftrightarrow t^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\sqrt{2}}{2}

.
Ta có

f (0) = 3

,

f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \cdot 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}

,

f (1) = 3

.
Do đó

M = max y = max_{[0; 1]} f (t) = 3

,

m = min y = min_{[0; 1]} f (t) = 2 \cdot 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}

.
Vậy

T = 1010 M + 2021 m = 2020 \cdot 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 6063

.

Đáp án D.

Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của...