Gọi $m$ và $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+2$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right].$ Tính $m+M.$

Phương pháp:
- Tính $y',$ xác định các nghiệm ${{x}_{i}}\in \left[ -1;2 \right]$ của phương trình $y'=0.$
- Tính $y\left( 0 \right),y\left( 2 \right),y\left( {{x}_{i}} \right).$
- KL: $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} y=\min \left\{ y\left( 0 \right),y\left( 2 \right),y\left( {{x}_{i}} \right) \right\},\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\max \left\{ y\left( 0 \right),y\left( 2 \right),y\left( {{x}_{i}} \right) \right\}$.
Cách giải:
Ta có $y'=3{{x}^{2}}-2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left[ 0;2 \right] \\
& x=-\dfrac{1}{3}\notin \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right..$
Mà $y\left( 0 \right)=2,y\left( 2 \right)=4,y\left( 1 \right)=1.$
$\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right)=1=m,\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 2 \right)=4=M.$
Vậy $m+M=1+4=5.$