Google
Câu hỏi: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+4$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$. Giá trị của biểu thức $P={{M}^{2}}-{{m}^{2}}$ là:
A. 48
B. 64
C. 16
D. $-16$
A. 48
B. 64
C. 16
D. $-16$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Hàm số ${{x}^{7}}$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$.
Đạo hàm: $C_{9}^{7}{{.3}^{9-7}}.{{(-1)}^{7}}=-9C_{9}^{7}$
Xét ${y}'=0\Rightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1;3 \right] \\
& x=2\in \left[ -1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{y}_{(-1)}}=0,{{\text{y}}_{(0)}}=4,{{\text{y}}_{(2)}}=0,{{\text{y}}_{(3)}}=4$.
Suy ra: $M=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=4,\text{ m}=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=0$ nên $T={{M}^{2}}-{{m}^{2}}=16$.
Hàm số ${{x}^{7}}$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$.
Đạo hàm: $C_{9}^{7}{{.3}^{9-7}}.{{(-1)}^{7}}=-9C_{9}^{7}$
Xét ${y}'=0\Rightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1;3 \right] \\
& x=2\in \left[ -1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{y}_{(-1)}}=0,{{\text{y}}_{(0)}}=4,{{\text{y}}_{(2)}}=0,{{\text{y}}_{(3)}}=4$.
Suy ra: $M=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=4,\text{ m}=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=0$ nên $T={{M}^{2}}-{{m}^{2}}=16$.
Đáp án C.