Google
Câu hỏi: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$. Giá trị của biểu thức $P={{M}^{2}}-{{m}^{2}}$ là
A. 48.
B. 64.
C. 16.
D. −16.
A. 48.
B. 64.
C. 16.
D. −16.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+4$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$.
Đạo hàm: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}$.
Xét ${y}'=0\Rightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1;3 \right] \\
& x=2\in \left[ -1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $y\left( -1 \right)=0,\text{ y}\left( 0 \right)=4,\text{ y}\left( 2 \right)=0,\text{ y}\left( 3 \right)=4$.
Suy ra: $M=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=4,m=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=0$ nên $T={{M}^{2}}-{{m}^{2}}=16$.
Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+4$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$.
Đạo hàm: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}$.
Xét ${y}'=0\Rightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1;3 \right] \\
& x=2\in \left[ -1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $y\left( -1 \right)=0,\text{ y}\left( 0 \right)=4,\text{ y}\left( 2 \right)=0,\text{ y}\left( 3 \right)=4$.
Suy ra: $M=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} y=4,m=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} y=0$ nên $T={{M}^{2}}-{{m}^{2}}=16$.
Đáp án C.