Google
Câu hỏi: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x+\dfrac{1}{4}\cos 2x$. Giá trị $M-m$ bằng
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{9}{16}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{11}{16}$
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{9}{16}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{11}{16}$
Ta có
$f\left( x \right)={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x+\dfrac{1}{4}\cos 2x={{\sin }^{4}}x+1-{{\sin }^{2}}x+\dfrac{1}{4}\left( 1-2{{\sin }^{2}}x \right)={{\sin }^{4}}x-\dfrac{3}{2}{{\sin }^{2}}x+\dfrac{5}{4}$
Đặt ${{\sin }^{2}}x=t\left( 0\le t\le 1 \right)$ khi đó đưa về bài toán tìm M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $g\left( t \right)={{t}^{2}}-\dfrac{3}{2}t+\dfrac{5}{4},t\in \left[ 0;1 \right]$.
Ta có ${g}'\left( t \right)=2t-\dfrac{3}{2}\Rightarrow {g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 2t-\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{4}\in \left[ 0;1 \right]$.
Mà $g\left( 0 \right)=\dfrac{5}{4};g\left( 1 \right)=\dfrac{3}{4};g\left( \dfrac{3}{4} \right)=\dfrac{11}{16}$.
Vậy $M=\dfrac{5}{4},m=\dfrac{11}{16}\Rightarrow M-m=\dfrac{9}{16}$.
$f\left( x \right)={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x+\dfrac{1}{4}\cos 2x={{\sin }^{4}}x+1-{{\sin }^{2}}x+\dfrac{1}{4}\left( 1-2{{\sin }^{2}}x \right)={{\sin }^{4}}x-\dfrac{3}{2}{{\sin }^{2}}x+\dfrac{5}{4}$
Đặt ${{\sin }^{2}}x=t\left( 0\le t\le 1 \right)$ khi đó đưa về bài toán tìm M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $g\left( t \right)={{t}^{2}}-\dfrac{3}{2}t+\dfrac{5}{4},t\in \left[ 0;1 \right]$.
Ta có ${g}'\left( t \right)=2t-\dfrac{3}{2}\Rightarrow {g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 2t-\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{4}\in \left[ 0;1 \right]$.
Mà $g\left( 0 \right)=\dfrac{5}{4};g\left( 1 \right)=\dfrac{3}{4};g\left( \dfrac{3}{4} \right)=\dfrac{11}{16}$.
Vậy $M=\dfrac{5}{4},m=\dfrac{11}{16}\Rightarrow M-m=\dfrac{9}{16}$.
Đáp án B.