Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

f (x) = \sin^{4} x + \cos^{2} x + \frac{1}{4} \cos 2 x

. Giá trị

M - m

bằng
A.

\frac{1}{16}

B.

\frac{9}{16}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{11}{16}

Ta có

f (x) = \sin^{4} x + \cos^{2} x + \frac{1}{4} \cos 2 x = \sin^{4} x + 1 - \sin^{2} x + \frac{1}{4} (1 - 2 \sin^{2} x) = \sin^{4} x - \frac{3}{2} \sin^{2} x + \frac{5}{4}

Đặt

\sin^{2} x = t (0 \leq t \leq 1)

khi đó đưa về bài toán tìm M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

g (t) = t^{2} - \frac{3}{2} t + \frac{5}{4}, t \in [0; 1]

.
Ta có

g^{'} (t) = 2 t - \frac{3}{2} \Rightarrow g^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 2 t - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{4} \in [0; 1]

.
Mà

g (0) = \frac{5}{4}; g (1) = \frac{3}{4}; g (\frac{3}{4}) = \frac{11}{16}

.
Vậy

M = \frac{5}{4}, m = \frac{11}{16} \Rightarrow M - m = \frac{9}{16}

.

Đáp án B.