Google
Câu hỏi: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{\cos }^{2}}2x-\sin x\cos x$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị $M+m$ bằng:
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{25}{16}.$
C. $\dfrac{9}{16}.$
D. $\dfrac{5}{8}.$
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $\dfrac{25}{16}.$
C. $\dfrac{9}{16}.$
D. $\dfrac{5}{8}.$
Ta có: $f\left( x \right)={{\cos }^{2}}2x-\sin x\cos x=-{{\sin }^{2}}2x-\dfrac{1}{2}\sin 2x+1$.
Đặt $t=\sin 2x$. Ta có: $x\in \mathbb{R}\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=-{{t}^{2}}-\dfrac{1}{2}t+1$ với $t\in \left[ -1;1 \right]$.
$\begin{aligned}
& g'\left( t \right)=-2t-\dfrac{1}{2},g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{4}. \\
& g\left( -1 \right)=\dfrac{1}{2},g\left( -\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{17}{16},g\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}. \\
\end{aligned}$
Do đó $\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2};\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( -\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{17}{16}$.
Vậy $M+m=\dfrac{9}{16}$.
Đặt $t=\sin 2x$. Ta có: $x\in \mathbb{R}\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=-{{t}^{2}}-\dfrac{1}{2}t+1$ với $t\in \left[ -1;1 \right]$.
$\begin{aligned}
& g'\left( t \right)=-2t-\dfrac{1}{2},g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{4}. \\
& g\left( -1 \right)=\dfrac{1}{2},g\left( -\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{17}{16},g\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}. \\
\end{aligned}$
Do đó $\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2};\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( -\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{17}{16}$.
Vậy $M+m=\dfrac{9}{16}$.
Đáp án C.