Gọi $M$ và $m$ là nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất...

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}x+4>0 \\ 5^{x^2}-5^{|x|} \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>-4 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1\end{array}\right.\right.$
$$
\begin{aligned}
& 1-\log _3(x+4)=0 \Leftrightarrow \log _3(x+4)=1 \Leftrightarrow x+4=3 \Leftrightarrow x=-1 \\
& 5^{x^2}-5^{|x|} \Leftrightarrow 5^{x^2}=5^{|x|} \Leftrightarrow x^2=|x| \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ x = x ^ { 2 } } \\
{ x = - x ^ { 2 } }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x=1 \\
x=0 \\
x=-1
\end{array}\right.\right. \\
&
\end{aligned}
$
Bảng xét dấu: ( $x=$ 0là nghiệm bội $2, x=1$ là nghiệm bội $2, x=-1$ là nghiệm bội)
$
x \in(-4 ;-1) \text { nên } M=-2 ; m=-3 \text { Vậy } M \cdot m=6
$