Google
Câu hỏi: Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}+3}-x\ln \text{x}$ trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$. Biết rằng $M.N=a+2\ln b,$ trong đó $a,b\in {{\mathbb{R}}^{+}}.$ Tính ${{a}^{2}}+4b.$
A. 26.
B. 29.
C. 32.
D. 36.
A. 26.
B. 29.
C. 32.
D. 36.
Ta có ${y}'=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}-\left( \ln x+1 \right)=\dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}-\ln x$
Vì $\sqrt{{{x}^{2}}+3}>x,\forall x>0\Rightarrow \dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}<0,\forall x>0$ và $0\le \ln x\le \ln 2,\forall x\in \left[ 1;2 \right].$
Nên ${y}'=\dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}-\ln x<0,\forall x\in \left[ 1;2 \right].$ Khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& M=y\left( 1 \right)=2 \\
& N=y\left( 2 \right)=\sqrt{7}-2\ln 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M.N=2\sqrt{7}-4\ln 2=2\sqrt{7}+2\ln \dfrac{1}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2\sqrt{7} \\
& b=\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ${{a}^{2}}+4b=29.$
Vì $\sqrt{{{x}^{2}}+3}>x,\forall x>0\Rightarrow \dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}<0,\forall x>0$ và $0\le \ln x\le \ln 2,\forall x\in \left[ 1;2 \right].$
Nên ${y}'=\dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}-\ln x<0,\forall x\in \left[ 1;2 \right].$ Khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& M=y\left( 1 \right)=2 \\
& N=y\left( 2 \right)=\sqrt{7}-2\ln 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M.N=2\sqrt{7}-4\ln 2=2\sqrt{7}+2\ln \dfrac{1}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2\sqrt{7} \\
& b=\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ${{a}^{2}}+4b=29.$
Đáp án B.