Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số...

Hàm số xác định trên $\left[ 0;4 \right]$. Ta có: $f\left( x \right)=\left| x-3 \right|\sqrt{x+1}=\sqrt{\left( x+1 \right){{\left( x-3 \right)}^{2}}}$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\left( x+1 \right){{\left( x-3 \right)}^{2}}$ trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$ ta có:
${g}'\left( x \right)={{\left( x-3 \right)}^{2}}+\left( x+1 \right).2\left( x-3 \right)=\left( x-3 \right)\left( 3\text{x}-1 \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3\in \left[ 0;4 \right] \\
& x=\dfrac{1}{3}\in \left[ 0;4 \right] \\
\end{aligned} \right. $. Ta có: $ g\left( 0 \right)=9,g\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{256}{27},g\left( 3 \right)=0,f\left( 4 \right)=5$.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& M=\underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\sqrt{g\left( \dfrac{1}{3} \right)}=\dfrac{16\sqrt{3}}{9} \\
& N=\underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\sqrt{g\left( 0 \right)}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M+2N=\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$.