Google
Câu hỏi: Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{x-2}$ trên $\left[ -2 ; 1 \right]$. Giá trị của $M+m$ bằng
A. $-5$.
B. $- 6$.
C. $-\dfrac{9}{4}$.
D. $-\dfrac{25}{4}$.
A. $-5$.
B. $- 6$.
C. $-\dfrac{9}{4}$.
D. $-\dfrac{25}{4}$.
Ta có
${y}'=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}^{\prime }}\left( x-2 \right)-{{\left( x-2 \right)}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( x-2 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-4x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$.
Xét phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-4x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=5\notin (-2;1) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $y\left( -2 \right)=-\dfrac{5}{4}$ ; $y\left( -1 \right)=-1$ ; $y\left( 1 \right)=-5$.
Suy ra $M=\underset{\left[ -2 ; 1 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( -1 \right)=-1$ và $m=\underset{\left[ -2 ; 1 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right)=-5$.
Vậy $M+m=-1-5=- 6$.
${y}'=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}^{\prime }}\left( x-2 \right)-{{\left( x-2 \right)}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( x-2 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-4x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$.
Xét phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-4x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=5\notin (-2;1) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $y\left( -2 \right)=-\dfrac{5}{4}$ ; $y\left( -1 \right)=-1$ ; $y\left( 1 \right)=-5$.
Suy ra $M=\underset{\left[ -2 ; 1 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( -1 \right)=-1$ và $m=\underset{\left[ -2 ; 1 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right)=-5$.
Vậy $M+m=-1-5=- 6$.
Đáp án B.