Google
Câu hỏi: Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{x+2}{x-1}$ trên đoạn $\left[ 2;3 \right]$. Tính ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}$.
A. $16$.
B. $\dfrac{45}{4}$.
C. $\dfrac{25}{4}$.
D. $\dfrac{89}{4}$.
A. $16$.
B. $\dfrac{45}{4}$.
C. $\dfrac{25}{4}$.
D. $\dfrac{89}{4}$.
Ta có: ${{y}^{'}}=\dfrac{-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;1 \right),\left( 1;+\infty \right)$
$\Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên $\left[ 2;3 \right]$
Do đó: $m=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{min}} y=y\left( 3 \right)=\dfrac{5}{2},M=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{Max}} y=y\left( 2 \right)=4$
Vậy: ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{89}{4}$
$\Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên $\left[ 2;3 \right]$
Do đó: $m=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{min}} y=y\left( 3 \right)=\dfrac{5}{2},M=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{Max}} y=y\left( 2 \right)=4$
Vậy: ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{89}{4}$
Đáp án D.