Google
Câu hỏi: Gọi $M\left( a,b \right)$ là điểm thuộc đó thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2\text{x}+\dfrac{4}{3}$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại M có hệ số góc lớn nhất. Tồng $2a+4b$ bằng
A. $-5$
B. 5
C. 0
D. 13
A. $-5$
B. 5
C. 0
D. 13
Tính $y'=-{{x}^{2}}-x+2$
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( a;b \right)$ là
$y'\left( a \right)=-{{a}^{2}}-a+2=-{{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}-{{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\le \dfrac{9}{4}$
$\Rightarrow $ Hệ số góc $y'\left( a \right)$ lớn nhất (dấu = xảy ra) khi chỉ khi ${{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$
Thay $x=a=-\dfrac{1}{2}$ và hàm số đã cho, ta có: $b=-\dfrac{1}{3}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+2\left( -\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow 2\text{a}+4b=0$
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( a;b \right)$ là
$y'\left( a \right)=-{{a}^{2}}-a+2=-{{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}-{{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\le \dfrac{9}{4}$
$\Rightarrow $ Hệ số góc $y'\left( a \right)$ lớn nhất (dấu = xảy ra) khi chỉ khi ${{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$
Thay $x=a=-\dfrac{1}{2}$ và hàm số đã cho, ta có: $b=-\dfrac{1}{3}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+2\left( -\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow 2\text{a}+4b=0$
Đáp án C.