Google
Câu hỏi: Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng $y=m+1$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2$ tại hai điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây đúng?
A. $m\in \left( \dfrac{7}{4};\dfrac{9}{4} \right).$
B. $m\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4} \right).$
C. $m\in \left( \dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4} \right).$
D. $m\in \left( \dfrac{5}{4};\dfrac{7}{4} \right).$
A. $m\in \left( \dfrac{7}{4};\dfrac{9}{4} \right).$
B. $m\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4} \right).$
C. $m\in \left( \dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4} \right).$
D. $m\in \left( \dfrac{5}{4};\dfrac{7}{4} \right).$
Phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=m+1\Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-3-m=0$.
Đặt ${{x}^{2}}=t,\left( t\ge 0 \right)$, ta có phương trình ${{t}^{2}}-3t-m-3=0\ \ \ \left( * \right)$
Theo giả thiết ta có $m>0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
Suy ra đường thẳng $y=m+1$ luôn cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2$ tại hai điểm A, B.
Vì A, B đối xứng với nhau qua Oy nên $A\left( x;m+1 \right)$ và $B\left( -x;m+1 \right)$.
Tam giác OAB vuông tại $O\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}$.
Thay ${{x}^{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}$ vào phương trình ${{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-3-m=0$ ta được ${{m}^{4}}+4{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}-3m-5=0$
$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{m}^{3}}+5{{m}^{2}}+8m+5 \right)=0\Leftrightarrow m=1$ (do $m>0$ ).
Đặt ${{x}^{2}}=t,\left( t\ge 0 \right)$, ta có phương trình ${{t}^{2}}-3t-m-3=0\ \ \ \left( * \right)$
Theo giả thiết ta có $m>0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
Suy ra đường thẳng $y=m+1$ luôn cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2$ tại hai điểm A, B.
Vì A, B đối xứng với nhau qua Oy nên $A\left( x;m+1 \right)$ và $B\left( -x;m+1 \right)$.
Tam giác OAB vuông tại $O\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}$.
Thay ${{x}^{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}$ vào phương trình ${{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-3-m=0$ ta được ${{m}^{4}}+4{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}-3m-5=0$
$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{m}^{3}}+5{{m}^{2}}+8m+5 \right)=0\Leftrightarrow m=1$ (do $m>0$ ).
Đáp án C.