Google
Câu hỏi: Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\dfrac{ax+32-a}{{{2}^{x}}},(a\in \mathbb{R})$ trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$. Hỏi có bao nhiêu số nguyên đương $a$ để $m\ge 16?$
A. 4.
B. 10.
C. 5.
D. 9.
A. 4.
B. 10.
C. 5.
D. 9.
Ta có $f\left( 1 \right)=16$
${f}'(x)=\dfrac{a-\left( a\ln 2 \right)x-\left( 32-a \right)\ln 2}{{{2}^{x}}}=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\dfrac{1}{\ln 2}-\dfrac{32}{a}+1$
TH1: ${{x}_{0}}\notin \left[ -2;1 \right]$
Khi đó yêu cầu của bài toán $\Leftrightarrow {{x}_{0}}<-2\Leftrightarrow 0<a<\dfrac{32}{\dfrac{1}{\ln 2}+3}$.
TH2: ${{x}_{0}}\in \left[ -2;1 \right]$
Khi đó yêu cầu của bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2\le {{x}_{0}}\le 1 \\
& f\left( -2 \right)\ge f\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{32}{\dfrac{1}{\ln 2}+3}\le a\le \dfrac{32}{\dfrac{1}{\ln 2}} \\
& a\le \dfrac{28}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Từ 2 trường hợp ta có $0<a\le \dfrac{28}{3}$
Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$.
${f}'(x)=\dfrac{a-\left( a\ln 2 \right)x-\left( 32-a \right)\ln 2}{{{2}^{x}}}=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\dfrac{1}{\ln 2}-\dfrac{32}{a}+1$
TH1: ${{x}_{0}}\notin \left[ -2;1 \right]$
Khi đó yêu cầu của bài toán $\Leftrightarrow {{x}_{0}}<-2\Leftrightarrow 0<a<\dfrac{32}{\dfrac{1}{\ln 2}+3}$.
TH2: ${{x}_{0}}\in \left[ -2;1 \right]$
Khi đó yêu cầu của bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2\le {{x}_{0}}\le 1 \\
& f\left( -2 \right)\ge f\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{32}{\dfrac{1}{\ln 2}+3}\le a\le \dfrac{32}{\dfrac{1}{\ln 2}} \\
& a\le \dfrac{28}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Từ 2 trường hợp ta có $0<a\le \dfrac{28}{3}$
Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$.
Đáp án D.