Google
Câu hỏi: Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$. Khi đó M + m bằng
A. 0.
B. -1.
C. 1.
D. 2.
A. 0.
B. -1.
C. 1.
D. 2.
Xét hàm số $y=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$
+ Tập xác định: $D=\left[ -1;1 \right]$
+ $y'=\sqrt{1-{{x}^{2}}}+x.\dfrac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\dfrac{1-2{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}},x\ne \pm 1$
$y'=0\Leftrightarrow 1-2{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\in \left( -1;1 \right) \\
& x=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\in \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+ Ta có: $y\left( -1 \right)=0;y\left( 1 \right)=0;y\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{1}{2};y\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}$
Vậy $M=\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{M\text{ax}}} y=\dfrac{1}{2}$ khi $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $m=\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}} y=-\dfrac{1}{2}$ khi $x=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
$M+m=\dfrac{1}{2}+\dfrac{-1}{2}=0$.
+ Tập xác định: $D=\left[ -1;1 \right]$
+ $y'=\sqrt{1-{{x}^{2}}}+x.\dfrac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\dfrac{1-2{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}},x\ne \pm 1$
$y'=0\Leftrightarrow 1-2{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\in \left( -1;1 \right) \\
& x=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\in \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+ Ta có: $y\left( -1 \right)=0;y\left( 1 \right)=0;y\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{1}{2};y\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}$
Vậy $M=\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{M\text{ax}}} y=\dfrac{1}{2}$ khi $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $m=\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}} y=-\dfrac{1}{2}$ khi $x=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
$M+m=\dfrac{1}{2}+\dfrac{-1}{2}=0$.
Đáp án A.