Google
Câu hỏi: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}+6x-{{x}^{2}}-4$.Tính tích các nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=M$
A. – 6.
B. 3.
C. – 3.
D. 6.
A. – 6.
B. 3.
C. – 3.
D. 6.
Ta có: $f\left( x \right)=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}+6x-{{x}^{2}}-4=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}-\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)+8$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}\ge 3,$ khi đó ta có $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+6t+8\forall x\ge 3$
Ta có $f'\left( t \right)=-2t+6=0\Leftrightarrow t=3$
Bảng biến thiên:
$\underset{\!\![\!\!3;+\infty ]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=17\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}=3\Leftrightarrow x=3$
$\Rightarrow \max f\left( x \right)=17=M\Leftrightarrow x=3$
Vậy phương trình $f\left( x \right)=M$ có nghiệm duy nhất $x=3$, do đó tích các nghiệm của chúng bằng 3.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}\ge 3,$ khi đó ta có $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+6t+8\forall x\ge 3$
Ta có $f'\left( t \right)=-2t+6=0\Leftrightarrow t=3$
Bảng biến thiên:
$\Rightarrow \max f\left( x \right)=17=M\Leftrightarrow x=3$
Vậy phương trình $f\left( x \right)=M$ có nghiệm duy nhất $x=3$, do đó tích các nghiệm của chúng bằng 3.
Đáp án B.