Google
Câu hỏi: Gọi $M(a;b)$ là điểm trên đồ thị hàm số $y=\dfrac{2\text{x}+1}{x+2}$ mà có khoảng cách đến đường thẳng $d:y=3x+6$ nhỏ nhất. Khi đó:
A. $a+2b=1$
B. $a+b=2$
C. $a+b=-2$
D. $a+2b=3$
A. $a+2b=1$
B. $a+b=2$
C. $a+b=-2$
D. $a+2b=3$
Gọi $M\left( a;\dfrac{2a+1}{a+2} \right)\left( a\ne -2 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+2}$
Ta có: $d(M;d)=\dfrac{\left| 3\text{a}-b+6 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\left| 3\text{a}-\dfrac{2\text{a}+1}{a+2}+6 \right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left| 3(a+2)+\dfrac{3}{a+2}-2 \right|}{\sqrt{10}}$
Lại có: ${{(x+y)}^{2}}\ge 4\text{x}y\Rightarrow {{\left[ 3(a+2)+\dfrac{3}{a+2} \right]}^{2}}\ge 4.3(a+2).\dfrac{3}{a+2}=36\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3(a+2)+\dfrac{3}{a+2}\ge 6 \\
& 3(a+2)+\dfrac{3}{a+2}\le -6 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $d(M;d)\ge \dfrac{\left| 6-2 \right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a+2=\dfrac{1}{a+2}=1\Leftrightarrow a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow a+b=-2$.
Ta có: $d(M;d)=\dfrac{\left| 3\text{a}-b+6 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\left| 3\text{a}-\dfrac{2\text{a}+1}{a+2}+6 \right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left| 3(a+2)+\dfrac{3}{a+2}-2 \right|}{\sqrt{10}}$
Lại có: ${{(x+y)}^{2}}\ge 4\text{x}y\Rightarrow {{\left[ 3(a+2)+\dfrac{3}{a+2} \right]}^{2}}\ge 4.3(a+2).\dfrac{3}{a+2}=36\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3(a+2)+\dfrac{3}{a+2}\ge 6 \\
& 3(a+2)+\dfrac{3}{a+2}\le -6 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $d(M;d)\ge \dfrac{\left| 6-2 \right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a+2=\dfrac{1}{a+2}=1\Leftrightarrow a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow a+b=-2$.
Đáp án C.