Gọi $M (a; b)$ là điểm trên đồ thị hàm số...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Gọi

M (a; b)

là điểm trên đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 2}

mà có khoảng cách đến đường thẳng

d : y = 3 x + 6

nhỏ nhất. Khi đó:
A.

a + 2 b = 1

B.

a + b = 2

C.

a + b = - 2

D.

a + 2 b = 3

Gọi

M (a; \frac{2 a + 1}{a + 2}) (a \neq - 2)

thuộc đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 2}

Ta có:

d (M; d) = \frac{| 3 a - b + 6 |}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{| 3 a - \frac{2 a + 1}{a + 2} + 6 |}{\sqrt{10}} = \frac{| 3 (a + 2) + \frac{3}{a + 2} - 2 |}{\sqrt{10}}

Lại có:

{(x + y)}^{2} \geq 4 x y \Rightarrow {[3 (a + 2) + \frac{3}{a + 2}]}^{2} \geq 4.3 (a + 2) . \frac{3}{a + 2} = 36 \Rightarrow [\begin{aligned} 3 (a + 2) + \frac{3}{a + 2} \geq 6 \\ 3 (a + 2) + \frac{3}{a + 2} \leq - 6 \end{aligned}

Do đó

d (M; d) \geq \frac{| 6 - 2 |}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}

.
Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow a + 2 = \frac{1}{a + 2} = 1 \Leftrightarrow a = - 1 \Rightarrow b = - 1 \Rightarrow a + b = - 2

.

Đáp án C.

Gọi M(a;b) là điểm trên đồ thị hàm số...