Gọi $m_{0}$ là số nguyên để phương trình ${{\log }_{3}}\left(...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Gọi

m_{0}

là số nguyên để phương trình

\log_{3} (\frac{x^{2}}{2020 - m}) + | x | (x^{2} + m) = 2020 | x |

,
có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1}^{2020} + x_{2}^{2020} = 2^{1011}

. Với

m_{0}

đó giá trị của biểu thức

P = \ln (x_{1} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2}) + \ln (x_{2} + \sqrt{x_{1}^{2} + 2})

thuộc vào khoảng nào dưới đây?
A.

(- 5; 1)

B.

(1; 5)

C.

(2018; 2020)

D.

(2020; 2025)

Điều kiện:

{\begin{aligned} x \neq 0 \\ m < 2020 \end{aligned}

.
Phương trình có dạng:

\log_{3} {| x |}^{2} + {| x |}^{3} = \log_{3} (2020 - m) + | x | (2020 - m)

\Leftrightarrow \log_{3} | x | + \log_{3} {| x |}^{2} + {| x |}^{3} = \log_{3} | x | + \log_{3} (2020 - m) + | x | (2020 - m)

\Leftrightarrow \log_{3} {| x |}^{3} + {| x |}^{3} = \log_{3} (| x | (2020 - m)) + | x | (2020 - m)

(1).
Xét hàm số:

f (t) = t + \log_{3} t

trên

D = (0; + \infty)

.
Vì

f^{'} (t) = 1 + \frac{1}{t \ln 3} > 0, \forall t \in D

nên hàm số

f (t)

đồng biến trên D.
Từ phương trình (1)

\Leftrightarrow f ({| x |}^{3}) = f (| x | (2020 - m))

\Leftrightarrow {| x |}^{3} = | x | (2020 - m) \Rightarrow {| x |}^{2} = 2020 - m \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = \sqrt{2020 - m} \\ x = - \sqrt{2020 - m} \end{aligned} (m < 2020)

(2).
Mà

x_{1}^{2020} + x_{2}^{2020} = 2^{1011} \Leftrightarrow 2 {(2020 - m)}^{1010} = 2^{1011} \Rightarrow (2020 - m) = 2 \Leftrightarrow m = 2018

.
Khi đó

{\begin{aligned} x_{1} = \sqrt{2} \\ x_{2} = - \sqrt{2} \end{aligned}

.
Vậy

P = \ln (x_{1} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2}) + \ln (x_{2} + \sqrt{x_{1}^{2} + 2}) = \ln (\sqrt{2} + 2) + \ln (- \sqrt{2} + 2) = \ln 2 \approx 0, 693

.

Đáp án A.

Gọi m0 là số nguyên để phương trình ${{\log }_{3}}\left(...