Google
Câu hỏi: Gọi ${{m}_{0}}$ là số nguyên để phương trình ${{\log }_{3}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2020-m} \right)+\left| x \right|\left( {{x}^{2}}+m \right)=2020\left| x \right|$,
có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2020}+x_{2}^{2020}={{2}^{1011}}$. Với ${{m}_{0}}$ đó giá trị của biểu thức $P=\ln \left( {{x}_{1}}+\sqrt{x_{2}^{2}+2} \right)+\ln \left( {{x}_{2}}+\sqrt{x_{1}^{2}+2} \right)$ thuộc vào khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -5;1 \right)$
B. $\left( 1;5 \right)$
C. $\left( 2018;2020 \right)$
D. $\left( 2020;2025 \right)$
có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2020}+x_{2}^{2020}={{2}^{1011}}$. Với ${{m}_{0}}$ đó giá trị của biểu thức $P=\ln \left( {{x}_{1}}+\sqrt{x_{2}^{2}+2} \right)+\ln \left( {{x}_{2}}+\sqrt{x_{1}^{2}+2} \right)$ thuộc vào khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -5;1 \right)$
B. $\left( 1;5 \right)$
C. $\left( 2018;2020 \right)$
D. $\left( 2020;2025 \right)$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& m<2020 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có dạng: ${{\log }_{3}}{{\left| x \right|}^{2}}+{{\left| x \right|}^{3}}={{\log }_{3}}\left( 2020-m \right)+\left| x \right|\left( 2020-m \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left| x \right|+{{\log }_{3}}{{\left| x \right|}^{2}}+{{\left| x \right|}^{3}}={{\log }_{3}}\left| x \right|+{{\log }_{3}}\left( 2020-m \right)+\left| x \right|\left( 2020-m \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left| x \right|}^{3}}+{{\left| x \right|}^{3}}={{\log }_{3}}\left( \left| x \right|\left( 2020-m \right) \right)+\left| x \right|\left( 2020-m \right)$ (1).
Xét hàm số: $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $D=\left( 0;+\infty \right)$.
Vì ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 3}>0,\forall t\in \text{D}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên D.
Từ phương trình (1) $\Leftrightarrow f\left( {{\left| x \right|}^{3}} \right)=f\left( \left| x \right|\left( 2020-m \right) \right)$
$\Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{3}}=\left| x \right|\left( 2020-m \right)\Rightarrow {{\left| x \right|}^{2}}=2020-m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\sqrt{2020-m} \\
& x=-\sqrt{2020-m} \\
\end{aligned} \right.\left( m<2020 \right)$ (2).
Mà $x_{1}^{2020}+x_{2}^{2020}={{2}^{1011}}\Leftrightarrow 2{{\left( 2020-m \right)}^{1010}}={{2}^{1011}}\Rightarrow \left( 2020-m \right)=2\Leftrightarrow m=2018$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\sqrt{2} \\
& {{x}_{2}}=-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $P=\ln \left( {{x}_{1}}+\sqrt{x_{2}^{2}+2} \right)+\ln \left( {{x}_{2}}+\sqrt{x_{1}^{2}+2} \right)=\ln \left( \sqrt{2}+2 \right)+\ln \left( -\sqrt{2}+2 \right)=\ln 2\approx 0,693$.
& x\ne 0 \\
& m<2020 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có dạng: ${{\log }_{3}}{{\left| x \right|}^{2}}+{{\left| x \right|}^{3}}={{\log }_{3}}\left( 2020-m \right)+\left| x \right|\left( 2020-m \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left| x \right|+{{\log }_{3}}{{\left| x \right|}^{2}}+{{\left| x \right|}^{3}}={{\log }_{3}}\left| x \right|+{{\log }_{3}}\left( 2020-m \right)+\left| x \right|\left( 2020-m \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left| x \right|}^{3}}+{{\left| x \right|}^{3}}={{\log }_{3}}\left( \left| x \right|\left( 2020-m \right) \right)+\left| x \right|\left( 2020-m \right)$ (1).
Xét hàm số: $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $D=\left( 0;+\infty \right)$.
Vì ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 3}>0,\forall t\in \text{D}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên D.
Từ phương trình (1) $\Leftrightarrow f\left( {{\left| x \right|}^{3}} \right)=f\left( \left| x \right|\left( 2020-m \right) \right)$
$\Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{3}}=\left| x \right|\left( 2020-m \right)\Rightarrow {{\left| x \right|}^{2}}=2020-m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\sqrt{2020-m} \\
& x=-\sqrt{2020-m} \\
\end{aligned} \right.\left( m<2020 \right)$ (2).
Mà $x_{1}^{2020}+x_{2}^{2020}={{2}^{1011}}\Leftrightarrow 2{{\left( 2020-m \right)}^{1010}}={{2}^{1011}}\Rightarrow \left( 2020-m \right)=2\Leftrightarrow m=2018$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\sqrt{2} \\
& {{x}_{2}}=-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $P=\ln \left( {{x}_{1}}+\sqrt{x_{2}^{2}+2} \right)+\ln \left( {{x}_{2}}+\sqrt{x_{1}^{2}+2} \right)=\ln \left( \sqrt{2}+2 \right)+\ln \left( -\sqrt{2}+2 \right)=\ln 2\approx 0,693$.
Đáp án A.