Google
Câu hỏi: Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}}$, cung tròn $y=\sqrt{2\text{x}-{{x}^{2}}}$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình $\left( H \right)$ bằng
A. $\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{1}{3}$
D. $\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{1}{3}$
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn: ${{x}^{2}}=\sqrt{2\text{x}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: $S=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{2\text{x}-{{x}^{2}}}d\text{x}}=\dfrac{1}{3}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}d\text{x}}$.
Đặt $x-1=\sin t,t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow d\text{x}=\cos tdt$.
Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=0;x=2\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2}$.
Suy ra $S=\dfrac{1}{3}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}tdt}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt}=\left. \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\left( t+\dfrac{1}{2}\sin 2t \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi }{4}$.
A. $\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{1}{3}$
D. $\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{1}{3}$
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn: ${{x}^{2}}=\sqrt{2\text{x}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: $S=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{2\text{x}-{{x}^{2}}}d\text{x}}=\dfrac{1}{3}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}d\text{x}}$.
Đặt $x-1=\sin t,t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow d\text{x}=\cos tdt$.
Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=0;x=2\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2}$.
Suy ra $S=\dfrac{1}{3}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}tdt}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt}=\left. \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\left( t+\dfrac{1}{2}\sin 2t \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi }{4}$.
Đáp án C.