Google
Câu hỏi: Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}}-4x+4$, đường thẳng $y=4x-12$ và trục hoành. Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục hoành bằng $\dfrac{a}{b}\pi (a, b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). giá trị của $a+b$ bằng
A. $31$.
B. $5$.
C. $36$.
D. $37$.
⬥ Xét các phương trình hoành độ giao điểm của $y={{x}^{2}}-4x+4$, $y=4x-12$ và trục hoành.
${{x}^{2}}-4x+4=4x-12\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+16=0\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}=0$ $x=4$.
${{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow x=2$.
$4x-12=0\Leftrightarrow x=3$
⬥ Khi cho hình phẳng $\left( H \right)$ quay quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích
$V=\pi \int\limits_{2}^{4}{{{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)}^{2}}\text{d}x- }\pi \int\limits_{3}^{4}{{{\left( 4x-12 \right)}^{2}}\text{d}x}$
$=\pi \int\limits_{2}^{4}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}\text{d}x- }\pi \int\limits_{3}^{4}{{{\left( 4x-12 \right)}^{2}}\text{d}x}$
$=\pi \left. \dfrac{{{\left( x-2 \right)}^{5}}}{5} \right|_{2}^{4}-\pi \left. \dfrac{{{\left( 4x-12 \right)}^{3}}}{12} \right|_{3}^{4}=\dfrac{32}{5}\pi -\dfrac{16}{3}\pi =\dfrac{16}{15}\pi .$
⬥ Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=16 \\
& b=15 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ a+b=31.$
A. $31$.
B. $5$.
C. $36$.
D. $37$.
${{x}^{2}}-4x+4=4x-12\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+16=0\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}=0$ $x=4$.
${{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow x=2$.
$4x-12=0\Leftrightarrow x=3$
⬥ Khi cho hình phẳng $\left( H \right)$ quay quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích
$V=\pi \int\limits_{2}^{4}{{{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)}^{2}}\text{d}x- }\pi \int\limits_{3}^{4}{{{\left( 4x-12 \right)}^{2}}\text{d}x}$
$=\pi \int\limits_{2}^{4}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}\text{d}x- }\pi \int\limits_{3}^{4}{{{\left( 4x-12 \right)}^{2}}\text{d}x}$
$=\pi \left. \dfrac{{{\left( x-2 \right)}^{5}}}{5} \right|_{2}^{4}-\pi \left. \dfrac{{{\left( 4x-12 \right)}^{3}}}{12} \right|_{3}^{4}=\dfrac{32}{5}\pi -\dfrac{16}{3}\pi =\dfrac{16}{15}\pi .$
⬥ Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=16 \\
& b=15 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ a+b=31.$
Đáp án A.