Gọi hàm số bậc năm $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $y={f}'\left(...

Ta có ${g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right).{f}'\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)-6{{x}^{2}}-12x=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right)\left[ {f}'\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)-2 \right]$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+6x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình $3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình ${f}'\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=a<0 \\
& {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=b\in \left( 0;2 \right) \\
& {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=c\in \left( 2;4 \right) \\
& {{x}^{3}}+3{{x}^{3}}=d>4 \\
\end{aligned} \right.$.
Hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ có ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm $h\left( x \right)$ :

Dựa vào bảng biên thiên của hàm $h\left( x \right)$, ta có
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=a<0$ có duy nhất một nghiệm ${{x}_{1}}<-3$.
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=d>4$ có duy nhất một nghiệm ${{x}_{2}}>1$.
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=b\in \left( 0;2 \right)$ có ba nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm trên.
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=c\in \left( 2;4 \right)$ có ba nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm trên.
Do đó, phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có mười nghiệm đơn phân biệt nên hàm số $y=g\left( x \right)$ có mười điểm cực trị.