Google
Câu hỏi: Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}$ thỏa mãn $F\left( 2 \right)=0$. Khi đó phương trình $F\left( x \right)=x$ có nghiệm là:
A. $x=1$.
B. $x=1-\sqrt{3}$.
C. $x=-1$.
D. $x=0$.
A. $x=1$.
B. $x=1-\sqrt{3}$.
C. $x=-1$.
D. $x=0$.
Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx=\int{\dfrac{x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}dx=-\int{\dfrac{d\left( 8-{{x}^{2}} \right)}{2\sqrt{8-{{x}^{2}}}}}}}dx=-\sqrt{8-{{x}^{2}}}+C$.
Mà $F\left( 2 \right)=0$ nên $-\sqrt{8-{{2}^{2}}}+C=0\Leftrightarrow C=2$.
Khi đó phương trình
$F\left( x \right)=x\Leftrightarrow -\sqrt{8-{{x}^{2}}}+2=x\Leftrightarrow \sqrt{8-{{x}^{2}}}=2-x \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-x\ge 0 \\
& 8-{{x}^{2}}={{\left( 2-x \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\le 2 \\
& x=1\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1-\sqrt{3}$.
Mà $F\left( 2 \right)=0$ nên $-\sqrt{8-{{2}^{2}}}+C=0\Leftrightarrow C=2$.
Khi đó phương trình
$F\left( x \right)=x\Leftrightarrow -\sqrt{8-{{x}^{2}}}+2=x\Leftrightarrow \sqrt{8-{{x}^{2}}}=2-x \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-x\ge 0 \\
& 8-{{x}^{2}}={{\left( 2-x \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\le 2 \\
& x=1\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1-\sqrt{3}$.
Đáp án B.