Google
Câu hỏi: Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{8+{{x}^{2}}}}$ thỏa mãn $F\left( 1 \right)=0.$ Khi đó phương trình $F\left( x \right)=x$ có nghiệm là:
A. $x=1.$
B. $x=\dfrac{1}{6}.$
C. $x=-1.$
D. $x=\dfrac{-1}{6}.$
A. $x=1.$
B. $x=\dfrac{1}{6}.$
C. $x=-1.$
D. $x=\dfrac{-1}{6}.$
Ta có: $\int{\dfrac{x}{\sqrt{8+{{x}^{2}}}}dx}=\dfrac{1}{2}\int{{{\left( 8+{{x}^{2}} \right)}^{-\dfrac{1}{2}}}d\left( 8+{{x}^{2}} \right)=\sqrt{8+{{x}^{2}}}+C.}$
Mặt khác: $F\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{8+{{1}^{2}}}+C=0\Leftrightarrow C=-3.$ Nên $F\left( x \right)=\sqrt{8+{{x}^{2}}}-3$.
$F\left( x \right)=x\Leftrightarrow \sqrt{8+{{x}^{2}}}-3=x\Leftrightarrow \sqrt{8+{{x}^{2}}}=x+3$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+3\ge 0 \\
& 8+{{x}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -3 \\
& 6x=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -3 \\
& x=\dfrac{-1}{6} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{6}.$
Mặt khác: $F\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{8+{{1}^{2}}}+C=0\Leftrightarrow C=-3.$ Nên $F\left( x \right)=\sqrt{8+{{x}^{2}}}-3$.
$F\left( x \right)=x\Leftrightarrow \sqrt{8+{{x}^{2}}}-3=x\Leftrightarrow \sqrt{8+{{x}^{2}}}=x+3$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+3\ge 0 \\
& 8+{{x}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -3 \\
& 6x=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -3 \\
& x=\dfrac{-1}{6} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{6}.$
Đáp án D.