Google
Câu hỏi: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}$ $\left( -\sqrt{6}\le x\le \sqrt{6} \right)$ và trục hoành (phần gạch chéo). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.
A. $8\pi \sqrt{6}-2\pi .$
B. $8\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}.$
C. $8\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}.$
D. $4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}.$
A. $8\pi \sqrt{6}-2\pi .$
B. $8\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}.$
C. $8\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}.$
D. $4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}.$
Xét phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=2.$
Gọi $\left( A \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x};y=0;x=0;x=2.$
Quay $\left( A \right)$ quanh trục hoành ta được vật thể tròn xoay có thể tích
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}dx}=\pi .\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
0
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
2 \\
\end{smallmatrix}} \right.=2\pi $
Gọi $\left( B \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường
$y=\sqrt{6-{{x}^{2}}};y=0;x=2;x=\sqrt{6}.$
Quay $\left( B \right)$ quanh trục honàh ta được vật thể tròn xoay có thể tích
${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{2}^{\sqrt{6}}{{{\left( \sqrt{6-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}dx}=\pi \left( 6x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
2
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
\sqrt{6} \\
\end{smallmatrix}} \right.=\pi \left( 6\sqrt{6}-2\sqrt{6} \right)-\dfrac{28\pi }{3}=4\pi \sqrt{6}-\dfrac{28\pi }{3}.$
Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}.$
Thể tích cần tính là $V-\left( {{V}_{1}}+{{V}_{2}} \right)=4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}.$
Gọi $\left( A \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x};y=0;x=0;x=2.$
Quay $\left( A \right)$ quanh trục hoành ta được vật thể tròn xoay có thể tích
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}dx}=\pi .\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
0
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
2 \\
\end{smallmatrix}} \right.=2\pi $
Gọi $\left( B \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường
$y=\sqrt{6-{{x}^{2}}};y=0;x=2;x=\sqrt{6}.$
Quay $\left( B \right)$ quanh trục honàh ta được vật thể tròn xoay có thể tích
${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{2}^{\sqrt{6}}{{{\left( \sqrt{6-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}dx}=\pi \left( 6x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
2
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
\sqrt{6} \\
\end{smallmatrix}} \right.=\pi \left( 6\sqrt{6}-2\sqrt{6} \right)-\dfrac{28\pi }{3}=4\pi \sqrt{6}-\dfrac{28\pi }{3}.$
Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}.$
Thể tích cần tính là $V-\left( {{V}_{1}}+{{V}_{2}} \right)=4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}.$
Đáp án D.