Google
Câu hỏi: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\left( -\sqrt{6}\le x\le \sqrt{6} \right)$ và tục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là
A. $V=8\pi \sqrt{6}-2\pi $
B. $V=8\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$
C. $V=8\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}$
D. $V=4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$
A. $V=8\pi \sqrt{6}-2\pi $
B. $V=8\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$
C. $V=8\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}$
D. $V=4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$
Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}$.
Xét phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{x}^{2}}+x-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2$.
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}$ và đường thẳng $y=0$ quanh Ox là:
${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{x\text{dx}}+\pi \int\limits_{2}^{\sqrt{6}}{\left( 6-{{x}^{2}} \right)d\text{x}}=2\pi +\dfrac{12\sqrt{6}-28}{3}\pi =4\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}$.
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=8\pi \sqrt{6}-\left( 4\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3} \right)=4\sqrt{6}\pi +\dfrac{22\pi }{3}$.
Xét phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{x}^{2}}+x-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2$.
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}$ và đường thẳng $y=0$ quanh Ox là:
${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{x\text{dx}}+\pi \int\limits_{2}^{\sqrt{6}}{\left( 6-{{x}^{2}} \right)d\text{x}}=2\pi +\dfrac{12\sqrt{6}-28}{3}\pi =4\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}$.
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=8\pi \sqrt{6}-\left( 4\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3} \right)=4\sqrt{6}\pi +\dfrac{22\pi }{3}$.
Đáp án D.