Gọi $A$ và $B$ là các điểm lần lượt nằm trên các đồ thị hàm số...

Do $A$ và $B$ là các điểm lần lượt nằm trên các đồ thị hàm số $y={{\log }_{\sqrt{2}}}x$ và $y={{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x$, ta có tọa độ các điểm $A\left( a; {{\log }_{\sqrt{2}}}a \right)$ và $B\left( b; {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}b \right)$ với $a>0; b>0$.
Vì $M\left( 2,0 \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a+b}{2}=2 \\
& \dfrac{{{\log }_{\sqrt{2}}}a+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}b}{2}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b=4 \\
& 2{{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}b=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=4-a \\
& {{\log }_{2}}{{a}^{2}}-{{\log }_{2}}\left( 4-a \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=4-a \\
& {{\log }_{2}}\dfrac{{{a}^{2}}}{4-a}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=4-a \\
& \dfrac{{{a}^{2}}}{4-a}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=4-a \\
& {{a}^{2}}=4-a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=4-a \\
& {{a}^{2}}+a-4=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} \\
& b=\dfrac{9-\sqrt{17}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra tọa độ $A\left( \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}; {{\log }_{\sqrt{2}}}\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} \right)$ và $B\left( \dfrac{9-\sqrt{17}}{2}; {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{9-\sqrt{17}}{2} \right)$.
Vậy diện tích $\Delta OAB$ là: ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}\left| {{x}_{A}}{{y}_{B}}-{{x}_{B}}{{y}_{A}} \right|=\dfrac{1}{2}\left| {{x}_{A}}.\left( -{{y}_{A}} \right)-{{x}_{B}}{{y}_{A}} \right|=\dfrac{1}{2}\left| \left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right){{y}_{A}} \right|$
$=\dfrac{1}{2}\left| 4.2{{\log }_{2}}\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} \right|=4{{\log }_{2}}\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$.